determine o limite de cada função quando (a)
(b)
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Precisamos determinar os limites de várias funções quando $ x $ tende a $ \infty $ e a $ -\infty $. Para isso, utilizaremos conceitos de limites no infinito, analisando o comportamento de funções racionais e funções com radicais, comparando os termos de maior grau no numerador e no denominador.
Passo 2
Primeira função: $ f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3} $
Limite quando $ x \rightarrow \infty $:
Para encontrar o limite de uma função racional quando $ x $ tende a $ \infty $, comparamos os termos de maior grau do numerador e denominador.
No numerador, o termo de maior grau é $ x $ e no denominador é $ x^2 $.
Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por $ x^2 $, que é o maior grau presente:
À medida que $ x $ tende a $ \infty $, os termos $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^2} $ tendem a 0. Portanto:
Passo 3
Primeira função: $ f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3} $
Limite quando $ x \rightarrow -\infty $:
A abordagem é a mesma usada para $ x \rightarrow \infty $. Dividindo por $ x^2 $:
Quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^2} $ também tendem a 0:
Passo 4
Segunda função: $ f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{3x - 5} $
Limite quando $ x \rightarrow \infty $:
Para funções com radicais, simplificamos dividindo os termos dentro do radical pelo maior grau de $ x $ presente, que é $ x^2 $:
Como $ x $ tende a $ \infty $, $ |x| = x $. Portanto:
À medida que $ x $ tende a $ \infty $:
Então,
Passo 5
Segunda função: $ f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{3x - 5} $
Limite quando $ x \rightarrow -\infty $:
Novamente, simplificamos:
Portanto:
À medida que $ x $ tende a $ -\infty $:
Então,
Passo 6
Terceira função: $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^4 + x + 1}{x^2 - 5} $
Para encontrar esse limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o maior grau é $ x^4 $ e no denominador é $ x^2 $.
Dividimos todos os termos por $ x^4 $:
À medida que $ x $ tende a $ \infty $, os termos com $ \frac{1}{x^k} $ tendem a 0:
Portanto, o limite é infinito.
Passo 7
Quarta função: $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1 + x6}{x4 + 1} $
Novamente, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o maior grau é $ x^6 $ e no denominador é $ x^4 $.
Dividimos todos os termos por $ x^4 $:
À medida que $ x $ tende a $ -\infty $, os termos com $ \frac{1}{x^4} $ tendem a 0:
Portanto, o limite é infinito.
Resposta
a) Para $ f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3} $:
b) Para $ f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{3x - 5} $:
c) Para $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^4 + x + 1}{x^2 - 5} $:
d) Para $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1 + x6}{x4 + 1} $: