determine o limite de cada função quando (a) x infty e (b) x -infty.
f(x)=x+1x^2+3
l f(x)=raiz2 x^2+13 x-5 lim x infty 3 x^4+x+1x^2-5 lim x -infty 1+x^6x^4+1

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos que vamos usar. Precisamos determinar os limites de várias funções quando $ x $ tende a $ \infty $ e a $ -\infty $. Para isso, utilizaremos conceitos de limites no infinito, analisando o comportamento de funções racionais e funções com radicais, comparando os termos de maior grau no numerador e no denominador.

Passo 2

Primeira função: $ f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3} $
Limite quando $ x \rightarrow \infty $:
Para encontrar o limite de uma função racional quando $ x $ tende a $ \infty $, comparamos os termos de maior grau do numerador e denominador.
No numerador, o termo de maior grau é $ x $ e no denominador é $ x^2 $.
Podemos dividir tanto o numerador quanto o denominador por $ x^2 $, que é o maior grau presente:
f(x) = x + 1x^2 + 3
À medida que $ x $ tende a $ \infty $, os termos $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^2} $ tendem a 0. Portanto:
x infty

Passo 3

Primeira função: $ f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3} $
Limite quando $ x \rightarrow -\infty $:
A abordagem é a mesma usada para $ x \rightarrow \infty $. Dividindo por $ x^2 $:
f(x) = x + 1x^2 + 3
Quando $ x $ tende a $ -\infty $, $ \frac{1}{x} $ e $ \frac{1}{x^2} $ também tendem a 0:
x -infty

Passo 4

Segunda função: $ f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{3x - 5} $
Limite quando $ x \rightarrow \infty $:
Para funções com radicais, simplificamos dividindo os termos dentro do radical pelo maior grau de $ x $ presente, que é $ x^2 $:
f(x) = raiz2x^2 + 13x - 5
Como $ x $ tende a $ \infty $, $ |x| = x $. Portanto:
x infty
À medida que $ x $ tende a $ \infty $:
x
Então,
x^2

Passo 5

Segunda função: $ f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{3x - 5} $
Limite quando $ x \rightarrow -\infty $:
Novamente, simplificamos:
f(x) = raiz2x^2 + 13x - 5
Portanto:
x -infty
À medida que $ x $ tende a $ -\infty $:
raiz2x^2 + 1 = |x|raiz2 + 1x^2 = -xraiz2 + 1x^2 (pois x -infty)
Então,
f(x) = -xraiz2 + 1x^23x - 5 = -raiz2 + 1x^23 - 5x

Passo 6

Terceira função: $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^4 + x + 1}{x^2 - 5} $
Para encontrar esse limite, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o maior grau é $ x^4 $ e no denominador é $ x^2 $.
Dividimos todos os termos por $ x^4 $:
limx infty 3x^4 + x + 1x^2 - 5
À medida que $ x $ tende a $ \infty $, os termos com $ \frac{1}{x^k} $ tendem a 0:
x^4
Portanto, o limite é infinito.

Passo 7

Quarta função: $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1 + x6}{x4 + 1} $
Novamente, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o maior grau é $ x^6 $ e no denominador é $ x^4 $.
Dividimos todos os termos por $ x^4 $:
limx -infty 1 + x^6x^4 + 1
À medida que $ x $ tende a $ -\infty $, os termos com $ \frac{1}{x^4} $ tendem a 0:
x^6
Portanto, o limite é infinito.

Resposta

a) Para $ f(x) = \frac{x + 1}{x^2 + 3} $:
f(x) = x + 1x^2 + 3
b) Para $ f(x) = \frac{\sqrt{2x^2 + 1}}{3x - 5} $:
limx infty f(x) = 0 e limx -infty f(x) = 0
c) Para $ \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{3x^4 + x + 1}{x^2 - 5} $:
f(x) = raiz2x^2 + 13x - 5
d) Para $ \lim_{x \rightarrow -\infty} \frac{1 + x6}{x4 + 1} $:
limx infty f(x) = raiz23 e limx -infty f(x) = -raiz23

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