Determine o limite, caso exista:
a. 1
b. 0
c. Não existe o limite
d. - 1
e.
a. 1
b. 0
c. Não existe o limite
d. - 1
e.
Passo 1
O enunciado pede o limite em duas variáveis \r
Esse é um problema de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se, ao nos aproximarmos de
por diferentes curvas, o valor da expressão se mantém o mesmo. Se variar com a curva, o limite não existe.
Passo 2
Observe que tanto o numerador quanto o denominador podem ser fatorados: \r
Logo, para
, podemos simplificar:\r
Passo 3
Para investigar existência do limite, escolhemos a família de retas
(com
constante), que é uma forma padrão de checar dependência de caminho. Substituindo
na forma simplificada: \r
\r
Repare que esse valor independe de
, mas depende de
.
Passo 4
Vamos ver dois exemplos de
distintos:\r
- Se
(ou seja, ), então\r
- Se
(ou seja, ), então\r
Como o limite ao longo de
dá
e ao longo de
dá
, os valores não coincidem.
Passo 5
Quando a aproximação por diferentes caminhos fornece resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.
Resposta
c. Não existe o limite