Determine o limite, caso exista:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^2 y-y^3x^3+y^3
a. 1
b. 0
c. Não existe o limite
d. - 1
e. infty

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis \r
lim(x,y)to(0,0)x^2y - y^3x^3+y^3 \r
Esse é um problema de limites em funções de duas variáveis, onde precisamos verificar se, ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes curvas, o valor da expressão se mantém o mesmo. Se variar com a curva, o limite não existe.

Passo 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador podem ser fatorados: \r
numerador =x^2y - y^3=y,(x^2-y^2)=y,(x-y),(x+y),
denominador =x^3+y^3=(x+y),(x^2-xy+y^2) \r
Logo, para (x+y)neq0, podemos simplificar:\r

Passo 3

Para investigar existência do limite, escolhemos a família de retas y=kx (com k constante), que é uma forma padrão de checar dependência de caminho. Substituindo y=kx na forma simplificada: \r
\r
Repare que esse valor independe de x, mas depende de k.

Passo 4

Vamos ver dois exemplos de k distintos:\r
  1. Se k=0 (ou seja, y=0), então\r
k(1-k)1-k+k^2=0cdot11=0\r
  1. Se k=2 (ou seja, y=2x), então\r
2(1-2)1-2+4=2cdot(-1)3=-23\r
Como o limite ao longo de y=0 0 e ao longo de y=2x -tfrac23, os valores não coincidem.

Passo 5

Quando a aproximação por diferentes caminhos fornece resultados diferentes, concluímos que o limite não existe.

Resposta

c. Não existe o limite

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