Determine a resposta correta para o limite
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x+yx^2+y^2
a. 1
b. 0
c. 12
d. infty
e. Não existe o limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que pede para encontrar o valor de lim (x, y) to (0,0) x+yx^2+y^2 . Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando (x, y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar avaliar o limite ao longo de diferentes caminhos para ver se conseguimos um único valor ou se ele varia dependendo da direção que a gente escolhe para se aproximar do ponto (0,0) .
Vamos começar com o caminho onde y = x . Substituindo y por x na função, fica assim:
x + yx^2 + y^2 = x + xx^2 + x^2 = 2x2x^2 = 1x
Agora, vamos ver o que acontece quando x se aproxima de 0:
limx to 0 1x
Esse limite tende a infinito ( infty ) porque conforme x fica menor e menor, 1x fica cada vez maior.

Passo 3

Agora, vamos tentar outro caminho diferente. Vamos escolher y = -x e substituir na função:
x + yx^2 + y^2 = x - xx^2 + x^2 = 02x^2 = 0
Nesse caso, o limite é simplesmente 0, pois o numerador é zero independentemente do valor de x .

Passo 4

Observamos que, ao escolher caminhos diferentes para nos aproximarmos de (0,0) , obtemos resultados diferentes para o limite:
  • Pelo caminho y = x , o limite é infty .
  • Pelo caminho y = -x , o limite é 0 .
Essa inconsistência mostra que o limite depende do caminho escolhido para chegar a (0,0) , ou seja, ele não existe.

Resposta

e. Não existe o limite

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