Determine o limite, se existir:
lim (x, y) longrightarrow(0,0) x^3-x y^2raizx-raizy
a. 1
b. infty
c. 12
d. 0
e. Não existe o limite

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^3 - x,y^2raizx - raizy,
sabendo que, para a expressão fazer sentido real, precisamos de x>=0 e y>=0. O conteúdo principal aqui é fatoração para eliminar a forma indeterminada “ 0/0”.

Passo 2

Note que o numerador se factoriza usando diferença de quadrados:
x^3 - x,y^2 = x,(x^2 - y^2) = x,(x-y),(x+y)
E também
x - y = (raizx - raizy)(raizx + raizy)
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x^3 - x,y^2 = x,(raizx - raizy)(raizx + raizy),(x+y)

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos para raizxneqraizy:
x^3 - x,y^2raizx-raizy = x,(raizx-raizy)(raizx+raizy)(x+y)raizx-raizy = x,(x+y),(raizx+raizy)
Esse é o “cancelamento” que elimina a indeterminação.

Passo 4

Agora avaliamos o novo integrando contínuo quando (x,y)to(0,0):
x,(x+y),(raizx+raizy) ;longrightarrow; 0cdot(0+0)cdot(0+0) =0
Como esse valor independe do caminho (na região x,y>=0), o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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