Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
2.
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Passo 1
O enunciado pede uma série de potências para
e que a gente determine o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a fórmula da série geométrica
fazendo um ajuste para que apareça algo na forma
.
Passo 2
Para aplicar a série geométrica, primeiro fatoramos
no denominador:
Aqui temos
, então podemos usar
desde que
.
Passo 3
Substituindo
na série geométrica, obtemos
Multiplicando pelo fator
, a série para
fica
Passo 4
Agora determinamos o intervalo de convergência a partir da condição
:
Nos extremos
x=2 ou
x=-2 o termo geral da série é
que não tende a zero, logo a série diverge nos extremos. Portanto o intervalo de convergência é
Resposta
A série de potências é
com intervalo de convergência
-2 < x < 2 .