Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o intervalo de convergência.
2. f(x)=14+x^2

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências para
f(x)=14+x^2
e que a gente determine o intervalo de convergência. O conteúdo principal aqui é usar a fórmula da série geométrica
11 - u = sumn=0^infty u^n, |u|<1,
fazendo um ajuste para que apareça algo na forma tfrac11 - u.

Passo 2

Para aplicar a série geométrica, primeiro fatoramos 4 no denominador:
f(x)=14+x^2 = 14l(1 + tfracx^24r) = 14,11 - l(-tfracx^24r)
Aqui temos u = -tfracx^24, então podemos usar
tfrac11 - u = sumn=0^inftyu^n desde que |u|<1.

Passo 3

Substituindo u=-tfracx^24 na série geométrica, obtemos
11 - l(-tfracx^24r) = sumn=0^inftyl(-tfracx^24r)^n = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n4^n
Multiplicando pelo fator tfrac14, a série para f(x) fica
boxed f(x)=14+x^2 = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n4^,n+1

Passo 4

Agora determinamos o intervalo de convergência a partir da condição |u|<1:
l|-tfracx^24r|<1 Longrightarrow x^24<1 Longrightarrow |x|<2
Nos extremos x=2 ou x=-2 o termo geral da série é
(-1)^n2^2n4^,n+1 = (-1)^n4^n4^,n+1 = (-1)^n14,
que não tende a zero, logo a série diverge nos extremos. Portanto o intervalo de convergência é
(-2,2)

Resposta

A série de potências é
14+x^2 = sumn=0^infty(-1)^n,x^2n4^,n+1,
com intervalo de convergência -2 < x < 2.

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