Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(m) lim (x, y, z) (0,0,0) -3 x z6 x^2+3 y^2+3 z^2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis quando (x,y,z)→(0,0,0). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar usar o teste de caminho (limites direcionais) para verificar se o limite é único.

Passo 2

Para testar a existência do limite, escolhemos percorrer o ponto (0,0,0) por caminhos do tipo y=0 e z=kx, onde k é um parâmetro qualquer. Isso simplifica a expressão e nos mostra se o resultado depende de k.
Substituímos y=0 e z=kx em
-3xz6x^2+3y^2+3z^2
ficando
-3x,(kx)6x^2+3,0^2+3,(kx)^2=-3k x^26x^2+3k^2 x^2=-3k6+3k^2=-k2+k^2

Passo 3

Perceba que o valor -k2+k^2 depende de k. Por exemplo, para k=0 o limite ao longo do caminho é 0, mas para k=1 o limite é -1/3. Como esses resultados são diferentes, o limite não pode ser único.

Passo 4

Conclusão: como encontramos limites direcionais diferentes, o limite original não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados