Determine o limite, caso exista, ou mostre que o limite não existe.
(m)
.
(m)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de três variáveis quando (x,y,z)→(0,0,0). O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos precisar usar o teste de caminho (limites direcionais) para verificar se o limite é único.
Passo 2
Para testar a existência do limite, escolhemos percorrer o ponto (0,0,0) por caminhos do tipo y=0 e z=kx, onde k é um parâmetro qualquer. Isso simplifica a expressão e nos mostra se o resultado depende de k.
Substituímos y=0 e z=kx em
Substituímos y=0 e z=kx em
ficando
Passo 3
Perceba que o valor
depende de k. Por exemplo, para k=0 o limite ao longo do caminho é 0, mas para k=1 o limite é
. Como esses resultados são diferentes, o limite não pode ser único.
Passo 4
Conclusão: como encontramos limites direcionais diferentes, o limite original não existe.
Resposta
O limite não existe.