Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,3)} \frac{3 x-2 y}{4 x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \frac{3x-2y}{4x^{2}-y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{3x-2y}{4x^{2}-y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(2,3).
    O que se quer: determinar se o limite existe quando (x,y) se aproxima de (2,3) e, se existir, calcular o valor desse limite.

Passo 2

Lembrete útil (fórmula/ideia que vou usar). Polinômios em x,y são funções contínuas: isso significa que para um polinômio p(x,y),
\lim_{(x,y)\to(a,b)} p(x,y)=p(a,b).
Além disso, se g(x,y) e h(x,y) são contínuas num ponto (a,b) e h(a,b)\neq0, então a razão g/h também é contínua em (a,b). Em termos de limites, isto implica:
\lim_{(x,y)\to(a,b)} \frac{g(x,y)}{h(x,y)}=\frac{g(a,b)}{h(a,b)}\quad\text{sempre que }h(a,b)\neq0.
Aqui g(x,y)=3x-2y e h(x,y)=4x^{2}-y^{2}, que são polinômios e, portanto, contínuos. Logo basta verificar se h(2,3)\neq0.

Passo 3

Calcular explicitamente g(2,3) e h(2,3).
Para o numerador:
g(2,3)=3\cdot 2-2\cdot 3=6-6=0.
Para o denominador:
h(2,3)=4\cdot 2^{2}-3^{2}=4\cdot 4-9=16-9=7.
Observação: h(2,3)=7\neq0.

Passo 4

Como g e h são contínuas e h(2,3)\neq0, a função f=g/h é contínua em (2,3). Portanto o limite é obtido por substituição direta:
\lim_{(x,y)\to(2,3)} \frac{3x-2y}{4x^{2}-y^{2}}=\frac{g(2,3)}{h(2,3)}=\frac{0}{7}=0.
Comentário prático: ao resolver rápidos limites de funções racionais de duas variáveis, primeiro calcule o denominador no ponto; se for não nulo, vale a substituição direta.

Passo 5

Conclusão final e incentivo: o limite existe e vale 0. Boa prática para a prova — sempre checar o denominador primeiro; se não for zero, você economiza tempo.

Resposta

0

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