Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
.
O que se quer: determinar se o limite existe quandose aproxima de e, se existir, calcular o valor desse limite.
Passo 2
Lembrete útil (fórmula/ideia que vou usar). Polinômios em
são funções contínuas: isso significa que para um polinômio
,
Além disso, se
e
são contínuas num ponto
e
, então a razão
também é contínua em
. Em termos de limites, isto implica:
Aqui
e
, que são polinômios e, portanto, contínuos. Logo basta verificar se
.
Passo 3
Calcular explicitamente
e
.
Para o numerador:
Para o denominador:
Observação:
.
Passo 4
Como
e
são contínuas e
, a função
é contínua em
. Portanto o limite é obtido por substituição direta:
Comentário prático: ao resolver rápidos limites de funções racionais de duas variáveis, primeiro calcule o denominador no ponto; se for não nulo, vale a substituição direta.
Passo 5
Conclusão final e incentivo: o limite existe e vale
. Boa prática para a prova — sempre checar o denominador primeiro; se não for zero, você economiza tempo.