Esboce algumas curvas de nível da função.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar algumas curvas de nível da função f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Vou listar claramente o que isso significa e o que foi dado:
  • A função dada é f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • A pergunta é: desenhar (esboçar) curvas de nível — isto é, traçar no plano (x,y) alguns conjuntos onde f(x,y) tem o mesmo valor.
  • Não há outros dados numéricos; então vou escolher valores de nível típicos e explicar passo a passo como obter e desenhar cada curva.

Passo 2

O que é uma curva de nível? Uma curva de nível associada a um valor c é o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=c.
Isso significa que, fixando c, devemos resolver a equação
x^{2}+y^{2}=c.
Em palavras: curvas de nível são as “linhas” no plano onde a função toma o mesmo número.

Passo 3

Aplicando à nossa função: a equação da curva de nível para um valor c é
x^{2}+y^{2}=c.
Essa é a equação padrão de um círculo centrado na origem (0,0) com raio r tal que
r^{2}=c \quad\Longrightarrow\quad r=\sqrt{c}.

Passo 4

Domínio dos níveis possíveis: como x^{2}+y^{2}\ge 0 para todo (x,y), só existem curvas de nível para valores c com
c\ge 0.
Se c<0, a equação x^{2}+y^{2}=c não tem solução real e portanto não há curva de nível.

Passo 5

Escolha de alguns níveis representativos para desenhar (escolhas convenientes para esboço à mão):
vou usar c=0, c=1, c=2, c=4 e c=9. Estas escolhas incluem alguns quadrados perfeitos para facilitar o traço manual.

Passo 6

Calcular os raios correspondentes a cada nível:
  • Para c=0: r=\sqrt{0}=0. Isso é apenas o ponto central (0,0).
  • Para c=1: r=\sqrt{1}=1.
  • Para c=2: r=\sqrt{2}\approx 1,414.
  • Para c=4: r=\sqrt{4}=2.
  • Para c=9: r=\sqrt{9}=3.
(Observação didática: para \sqrt{2} pode-se usar a aproximação \sqrt{2}\approx 1,414 quando for necessário marcar distâncias no papel.)

Passo 7

Como esboçar cada curva no papel (passo a passo prático, jeito de prova sem régua precisa):
  1. Desenhe dois eixos perpendiculares e marque o centro (0,0).
  2. Para cada raio r calculado, marque em cada eixo os pontos (r,0), (-r,0), (0,r) e (0,-r). Por exemplo, para r=2 marque (2,0), (-2,0), (0,2), (0,-2).
  3. Desenhe um círculo suave passando por esses quatro pontos; esse é o círculo de raio r.
  4. Repita para cada r escolhido. Use linhas concêntricas (mesmo centro) e identifique cada uma com seu valor c.

Passo 8

O que esperar visualmente e dicas para o esboço:
  • Todas as curvas de nível são círculos concêntricos com centro em (0,0).
  • O círculo de c=0 é o ponto central; os demais círculos rodeiam esse ponto.
  • Ao desenhar, cuide para que o círculo com maior c tenha maior raio; mantenha proporção entre raios (por exemplo, r=1, r\approx1,414, r=2, r=3).
  • Etiquete cada círculo com seu c (por ex. c=1, c=2, c=4, c=9) para não confundir.

Passo 9

Conceito extra útil na prova (interpretação geométrica e espaçamento entre níveis):
  • A distância entre dois círculos correspondentes a c e c+\Delta c é aproximadamente
\Delta r=\sqrt{c+\Delta c}-\sqrt{c}\approx \frac{\Delta c}{2\sqrt{c}}
para \Delta c pequeno. Isso vem da derivada dr/dc=\dfrac{1}{2\sqrt{c}}.
  • Consequência prática: para incrementos iguais de c (por exemplo, de 1 em 1), as curvas ficam mais espaçadas perto de c=0 e mais próximas quando c é grande. Isso explica como o “declive” da função se traduz visualmente no espaçamento das curvas de nível.

Passo 10

Relação com o gradiente (ficar esperto para questões teóricas na prova): o gradiente de f é
\nabla f(x,y)=(2x,2y).
  • \nabla f aponta radialmente para fora (mesma direção de (x,y)) e é perpendicular às curvas de nível.
  • O módulo do gradiente é \|\nabla f\|=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}=2r, que cresce com a distância ao centro — por isso as mudanças de f são maiores quanto mais longe do centro.

Passo 11

Resumo prático para entregar a prova (o que desenhar e anotar):
  • Desenhe círculos concêntricos centrados em (0,0) com raios r=\sqrt{c}.
  • Exemplos de curvas a apresentar: para c=0,1,2,4,9 desenhar círculos de raios 0,1,\sqrt{2},2,3 e etiquetar cada um com seu c.

Resposta

x^{2}+y^{2}=0 (raio 0)
x^{2}+y^{2}=1 (raio 1)
x^{2}+y^{2}=2 (raio \sqrt{2}\approx1,414)
x^{2}+y^{2}=4 (raio 2)
x^{2}+y^{2}=9 (raio 3)

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