Esboce algumas curvas de nível da função.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar algumas curvas de nível da função
. Vou listar claramente o que isso significa e o que foi dado:
- A função dada é
. - A pergunta é: desenhar (esboçar) curvas de nível — isto é, traçar no plano
alguns conjuntos onde tem o mesmo valor. - Não há outros dados numéricos; então vou escolher valores de nível típicos e explicar passo a passo como obter e desenhar cada curva.
Passo 2
O que é uma curva de nível? Uma curva de nível associada a um valor
é o conjunto de pontos
tais que
Isso significa que, fixando
, devemos resolver a equação
Em palavras: curvas de nível são as “linhas” no plano onde a função toma o mesmo número.
Passo 3
Aplicando à nossa função: a equação da curva de nível para um valor
é
Essa é a equação padrão de um círculo centrado na origem
com raio
tal que
Passo 4
Domínio dos níveis possíveis: como
para todo
, só existem curvas de nível para valores
com
Se
, a equação
não tem solução real e portanto não há curva de nível.
Passo 5
Escolha de alguns níveis representativos para desenhar (escolhas convenientes para esboço à mão):
vou usar ,
,
,
e
. Estas escolhas incluem alguns quadrados perfeitos para facilitar o traço manual.
vou usar
Passo 6
Calcular os raios correspondentes a cada nível:
- Para
: . Isso é apenas o ponto central . - Para
: . - Para
: . - Para
: . - Para
: .
(Observação didática: para
pode-se usar a aproximação
quando for necessário marcar distâncias no papel.)
Passo 7
Como esboçar cada curva no papel (passo a passo prático, jeito de prova sem régua precisa):
- Desenhe dois eixos perpendiculares e marque o centro
. - Para cada raio
calculado, marque em cada eixo os pontos , , e . Por exemplo, para marque , , , . - Desenhe um círculo suave passando por esses quatro pontos; esse é o círculo de raio
. - Repita para cada
escolhido. Use linhas concêntricas (mesmo centro) e identifique cada uma com seu valor .
Passo 8
O que esperar visualmente e dicas para o esboço:
- Todas as curvas de nível são círculos concêntricos com centro em
. - O círculo de
é o ponto central; os demais círculos rodeiam esse ponto. - Ao desenhar, cuide para que o círculo com maior
tenha maior raio; mantenha proporção entre raios (por exemplo, , , , ). - Etiquete cada círculo com seu
(por ex. , , , ) para não confundir.
Passo 9
Conceito extra útil na prova (interpretação geométrica e espaçamento entre níveis):
- A distância entre dois círculos correspondentes a
e é aproximadamente
para
pequeno. Isso vem da derivada
.
- Consequência prática: para incrementos iguais de
(por exemplo, de em ), as curvas ficam mais espaçadas perto de e mais próximas quando é grande. Isso explica como o “declive” da função se traduz visualmente no espaçamento das curvas de nível.
Passo 10
Relação com o gradiente (ficar esperto para questões teóricas na prova): o gradiente de
é
-
aponta radialmente para fora (mesma direção de ) e é perpendicular às curvas de nível. - O módulo do gradiente é
, que cresce com a distância ao centro — por isso as mudanças de são maiores quanto mais longe do centro.
Passo 11
Resumo prático para entregar a prova (o que desenhar e anotar):
- Desenhe círculos concêntricos centrados em
com raios . - Exemplos de curvas a apresentar: para
desenhar círculos de raios e etiquetar cada um com seu .