Mostre que o limite não existe. \lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{y-x}{1-y+\ln x}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{y-x}{1-y+\ln x}
não existe. Informações dadas e observações iniciais:
A função é f(x,y)=\dfrac{y-x}{1-y+\ln x}.
O ponto de interesse é (1,1).
Para avaliar o limite, precisamos considerar que \ln x exige x>0 (domínio).
Ao aproximar (x,y) de (1,1) o numerador y-x tende a 0 e o denominador 1-y+\ln x também tende a 0. Portanto trata-se de uma forma indeterminada 0/0.
O que o enunciado pede é: provar que não existe um único valor L tal que a fração tenda a L quando (x,y)\to(1,1).
Passo 2
Abordagem por caminhos: uma maneira prática de provar que um limite em várias variáveis não existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que levam ao mesmo ponto, mas cujos limites ao longo desses caminhos sejam diferentes. Primeiro caminho: escolha y=x (a diagonal). Substituindo na expressão,
para todo x próximo de 1 com x>0 (exceto no próprio x=1 onde a função não está definida). Assim, ao longo do caminho y=x,
\lim_{x\to1} \frac{y-x}{1-y+\ln x} = 0.
Explicação didática: aqui não precisamos de expansão nem regra especial porque o numerador é identicamente zero ao longo do caminho; portanto a razão é sempre zero (quando bem definida), logo o limite ao longo desse caminho é 0.
Passo 3
Segundo caminho: escolha y=1 (linha horizontal). Substituindo,
Método 2 (expansão intuitiva), como verificação: escrevendo x=1+h com h\to0, tem-se \ln(1+h)=h+o(h), logo
\frac{1-x}{\ln x}=\frac{-h}{h+o(h)}\to -1.
Em qualquer caso, ao longo de y=1 o limite é -1.
Passo 4
Comparação dos limites por caminhos: pelo Passo 2, o limite ao longo de y=x é 0. Pelo Passo 3, o limite ao longo de y=1 é -1. Como esses dois limites (obtidos aproximando (1,1) por duas curvas diferentes) são distintos, não existe um único valor L que seja o limite quando (x,y)\to(1,1).
Justificativa conceitual curta: para um limite em duas variáveis existir, todo caminho que tende ao ponto deve produzir o mesmo valor limite. Encontrando dois caminhos com limites distintos, concluímos que o limite total não existe.
Passo 5
Conclusão final e ânimo: mostramos explicitamente dois caminhos com resultados diferentes, logo o limite pedido não existe. Fica a dica: sempre que aparecer uma forma 0/0 em várias variáveis, testar caminhos simples (linha, diagonal, curva y= constante, x= constante) costuma resolver rápido — e você já fez isso!