Mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(1,1)} \frac{y-x}{1-y+\ln x}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\lim_{(x,y)\to(1,1)} \frac{y-x}{1-y+\ln x}
não existe. Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{y-x}{1-y+\ln x}.
  • O ponto de interesse é (1,1).
  • Para avaliar o limite, precisamos considerar que \ln x exige x>0 (domínio).
  • Ao aproximar (x,y) de (1,1) o numerador y-x tende a 0 e o denominador 1-y+\ln x também tende a 0. Portanto trata-se de uma forma indeterminada 0/0.
  • O que o enunciado pede é: provar que não existe um único valor L tal que a fração tenda a L quando (x,y)\to(1,1).

Passo 2

Abordagem por caminhos: uma maneira prática de provar que um limite em várias variáveis não existe é encontrar duas curvas (dois caminhos) que levam ao mesmo ponto, mas cujos limites ao longo desses caminhos sejam diferentes. Primeiro caminho: escolha y=x (a diagonal). Substituindo na expressão,
\frac{y-x}{1-y+\ln x}\Bigg|_{y=x}=\frac{x-x}{1-x+\ln x}= \frac{0}{1-x+\ln x}=0
para todo x próximo de 1 com x>0 (exceto no próprio x=1 onde a função não está definida). Assim, ao longo do caminho y=x,
\lim_{x\to1} \frac{y-x}{1-y+\ln x} = 0.
Explicação didática: aqui não precisamos de expansão nem regra especial porque o numerador é identicamente zero ao longo do caminho; portanto a razão é sempre zero (quando bem definida), logo o limite ao longo desse caminho é 0.

Passo 3

Segundo caminho: escolha y=1 (linha horizontal). Substituindo,
\frac{y-x}{1-y+\ln x}\Bigg|_{y=1}=\frac{1-x}{1-1+\ln x}=\frac{1-x}{\ln x}.
Agora precisamos calcular o limite unidimensional
\lim_{x\to1}\frac{1-x}{\ln x}.
Método 1 (l’Hôpital), explicado passo a passo: a forma é 0/0. Derivando numerador e denominador em relação a x,
  • derivada do numerador 1-x é -1,
  • derivada do denominador \ln x é 1/x.
    Pela regra de l’Hôpital,
\lim_{x\to1}\frac{1-x}{\ln x} = \lim_{x\to1}\frac{-1}{1/x} = \lim_{x\to1}(-x) = -1.
Método 2 (expansão intuitiva), como verificação: escrevendo x=1+h com h\to0, tem-se \ln(1+h)=h+o(h), logo
\frac{1-x}{\ln x}=\frac{-h}{h+o(h)}\to -1.
Em qualquer caso, ao longo de y=1 o limite é -1.

Passo 4

Comparação dos limites por caminhos: pelo Passo 2, o limite ao longo de y=x é 0. Pelo Passo 3, o limite ao longo de y=1 é -1. Como esses dois limites (obtidos aproximando (1,1) por duas curvas diferentes) são distintos, não existe um único valor L que seja o limite quando (x,y)\to(1,1).
Justificativa conceitual curta: para um limite em duas variáveis existir, todo caminho que tende ao ponto deve produzir o mesmo valor limite. Encontrando dois caminhos com limites distintos, concluímos que o limite total não existe.

Passo 5

Conclusão final e ânimo: mostramos explicitamente dois caminhos com resultados diferentes, logo o limite pedido não existe. Fica a dica: sempre que aparecer uma forma 0/0 em várias variáveis, testar caminhos simples (linha, diagonal, curva y= constante, x= constante) costuma resolver rápido — e você já fez isso!

Resposta

O limite não existe.

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