Mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função racional de duas variáveis e o ponto onde a variável
se aproxima, que é
. Não há outras informações ou imagens.
Passo 2
Vamos lembrar a definição (em linguagem simples) do que significa existir limite finito de uma função de duas variáveis em um ponto. Dizemos que
para algum número real
se e somente se: para todo
existe
tal que, sempre que
, vale
. Em palavras: ao nos aproximarmos de
por qualquer caminho, os valores de
devem ficar arbitrariamente próximos de um mesmo número real
.
Do contrário, o limite não existe. Duas maneiras simples de provar que o limite não existe são:
- encontrar dois caminhos (ou sequências) que se aproximam de
e em que os limites de ao longo desses caminhos sejam dois números diferentes; ou - mostrar que ao longo de algum caminho
tende a infinito (ou diverge), enquanto ao longo de outro caminho tende a um número finito. Qualquer uma dessas situações já impede a existência de um limite finito.
Vou usar a segunda estratégia: vou calcular o comportamento da função ao longo de duas retas simples que passam por
.
Passo 3
Analisar a função ao longo da reta
.
Substituindo
na expressão, para
temos
Portanto, quando nos aproximamos de
seguindo a reta
(ou seja, pontos
com
), a função vale exatamente
e então
Logo o limite ao longo da reta
é o número finito
.
Passo 4
Analisar a função ao longo da reta
.
Substituindo
na expressão, para
obtemos
Quando
(seguindo a reta
), tem-se
Isto é, os valores da função crescem sem limite quando nos aproximamos de
por pontos da forma
. Em particular, não existe um número real
tal que
quando
; a função diverge para
por esse caminho.
Passo 5
Concluir que o limite não existe.
Pela definição de limite em
, se existisse um limite finito
em
ele teria que ser o mesmo ao longo de qualquer caminho de aproximação. Porém encontramos duas aproximações:
- pela reta
o limite é ; - pela reta
a função diverge para (não tende a um número finito).
Como esses comportamentos são incompatíveis, não existe um único número real
que seja limite da função quando
. Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.