Mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+x y^{2}}{x^{4}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+x y^{2}}{x^{4}+y^{2}}
não existe. As informações dadas são apenas a expressão da função racional de duas variáveis e o ponto onde a variável (x,y) se aproxima, que é (0,0). Não há outras informações ou imagens.

Passo 2

Vamos lembrar a definição (em linguagem simples) do que significa existir limite finito de uma função de duas variáveis em um ponto. Dizemos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L
para algum número real L se e somente se: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, vale |f(x,y)-L|<\varepsilon. Em palavras: ao nos aproximarmos de (0,0) por qualquer caminho, os valores de f(x,y) devem ficar arbitrariamente próximos de um mesmo número real L.
Do contrário, o limite não existe. Duas maneiras simples de provar que o limite não existe são:
  • encontrar dois caminhos (ou sequências) que se aproximam de (0,0) e em que os limites de f ao longo desses caminhos sejam dois números diferentes; ou
  • mostrar que ao longo de algum caminho f tende a infinito (ou diverge), enquanto ao longo de outro caminho tende a um número finito. Qualquer uma dessas situações já impede a existência de um limite finito.
Vou usar a segunda estratégia: vou calcular o comportamento da função ao longo de duas retas simples que passam por (0,0).

Passo 3

Analisar a função ao longo da reta x=0.
Substituindo x=0 na expressão, para y\neq0 temos
\frac{0^{2}+0\cdot y^{2}}{0^{4}+y^{2}}=\frac{0}{y^{2}}=0.
Portanto, quando nos aproximamos de (0,0) seguindo a reta x=0 (ou seja, pontos (0,y) com y\to0), a função vale exatamente 0 e então
\lim_{y\to0} \frac{0^{2}+0\cdot y^{2}}{0^{4}+y^{2}}=0.
Logo o limite ao longo da reta x=0 é o número finito 0.

Passo 4

Analisar a função ao longo da reta y=0.
Substituindo y=0 na expressão, para x\neq0 obtemos
\frac{x^{2}+x\cdot 0^{2}}{x^{4}+0^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{4}}=\frac{1}{x^{2}}.
Quando x\to0 (seguindo a reta y=0), tem-se
\frac{1}{x^{2}}\to +\infty.
Isto é, os valores da função crescem sem limite quando nos aproximamos de (0,0) por pontos da forma (x,0). Em particular, não existe um número real L tal que f(x,0)\to L quando x\to0; a função diverge para +\infty por esse caminho.

Passo 5

Concluir que o limite não existe.
Pela definição de limite em \mathbb{R}^{2}, se existisse um limite finito L em (0,0) ele teria que ser o mesmo ao longo de qualquer caminho de aproximação. Porém encontramos duas aproximações:
  • pela reta x=0 o limite é 0;
  • pela reta y=0 a função diverge para +\infty (não tende a um número finito).
Como esses comportamentos são incompatíveis, não existe um único número real L que seja limite da função quando (x,y)\to(0,0). Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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