Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{4}}{x^{2}+y^{8}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o seguinte limite, quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}}, definida quando o denominador é distinto de zero.
  • O ponto de interesse é (0,0).
O que se pede:
  • Verificar se existe um número real L tal que f(x,y)\to L quando (x,y)\to(0,0). Se existir, determinar L; se não existir, demonstrar que o limite não existe.

Passo 2

Conceito e estratégia que vou usar (explicado de forma simples):
  • Para limites em várias variáveis, uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (ou caminhos) que chegam em (0,0) e ao longo das quais os valores de f(x,y) tendem a limites diferentes. Se ao menos dois caminhos dão limites distintos, o limite geral não existe.
  • A escolha do caminho costuma ser guiada por comparar as potências de x e y que aparecem na função. Aqui vemos y^4 no numerador e x^2 e y^8 no denominador. Isso sugere tentar caminhos onde x e y^4 têm a mesma ordem de grandeza, por exemplo x proporcional a y^4.

Passo 3

Teste de um caminho simples: x=0.
  • Substituindo x=0 na função obtemos, para y\neq0:
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{4}}{0^{2}+y^{8}}=0.
  • Portanto, ao longo do caminho x=0 quando y\to0,
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.

Passo 4

Teste de uma família de caminhos que captura a comparação entre x^2 e y^8: escolha x=k\,y^{4}, com k constante real.
  • Substituindo x=k\,y^{4} na expressão:
\frac{x\,y^{4}}{x^{2}+y^{8}} = \frac{(k\,y^{4})\,y^{4}}{(k\,y^{4})^{2}+y^{8}}.
  • Calcule cada termo: (k\,y^{4})\,y^{4}=k\,y^{8} e (k\,y^{4})^{2}=k^{2}\,y^{8}. Assim
\frac{(k\,y^{4})\,y^{4}}{(k\,y^{4})^{2}+y^{8}} = \frac{k\,y^{8}}{k^{2}\,y^{8}+y^{8}}.
  • Fatorando y^{8} no denominador:
\frac{k\,y^{8}}{y^{8}(k^{2}+1)} = \frac{k}{k^{2}+1}, \qquad \text{para }y\neq0.
  • Isso mostra que, ao longo do caminho x=k\,y^{4} e quando y\to0,
\lim_{y\to0} f(k\,y^{4},y)=\frac{k}{k^{2}+1}.

Passo 5

Interpretação dos resultados e conclusão:
  • A família de limites \dfrac{k}{k^{2}+1} depende de k. Por exemplo:
    • Para k=0 obtém-se \dfrac{0}{0^{2}+1}=0, que coincide com o caminho x=0.
    • Para k=1 obtém-se \dfrac{1}{1^{2}+1}=\dfrac{1}{2}.
  • Como ao longo de dois caminhos diferentes (por exemplo x=0 e x=y^{4}) o valor de f(x,y) tende a 0 e a \tfrac{1}{2}, que são números diferentes, o limite quando (x,y)\to(0,0) não pode existir (se existisse teria de ser o mesmo para todo caminho).
  • Portanto o limite não existe.
Dica rápida para a prova: quando o numerador e os termos do denominador têm potências de y relacionadas (aqui y^{4} e y^{8}), experimentar caminhos do tipo x\sim y^{m} com m escolhendo igualar ordens é uma estratégia eficaz para detectar dependência do caminho.

Resposta

O limite não existe.

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