Determine o limite, caso ele exista, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o seguinte limite, quando
tende a
:
Informações dadas:
- A função é
, definida quando o denominador é distinto de zero. - O ponto de interesse é
.
O que se pede:
- Verificar se existe um número real
tal que quando . Se existir, determinar ; se não existir, demonstrar que o limite não existe.
Passo 2
Conceito e estratégia que vou usar (explicado de forma simples):
- Para limites em várias variáveis, uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar duas curvas (ou caminhos) que chegam em
e ao longo das quais os valores de tendem a limites diferentes. Se ao menos dois caminhos dão limites distintos, o limite geral não existe. - A escolha do caminho costuma ser guiada por comparar as potências de
e que aparecem na função. Aqui vemos no numerador e e no denominador. Isso sugere tentar caminhos onde e têm a mesma ordem de grandeza, por exemplo proporcional a .
Passo 3
Teste de um caminho simples:
.
- Substituindo
na função obtemos, para :
- Portanto, ao longo do caminho
quando ,
Passo 4
Teste de uma família de caminhos que captura a comparação entre
e
: escolha
, com
constante real.
- Substituindo
na expressão:
- Calcule cada termo:
e . Assim
- Fatorando
no denominador:
- Isso mostra que, ao longo do caminho
e quando ,
Passo 5
Interpretação dos resultados e conclusão:
- A família de limites
depende de . Por exemplo: - Para
obtém-se , que coincide com o caminho . - Para
obtém-se .
- Para
- Como ao longo de dois caminhos diferentes (por exemplo
e ) o valor de tende a e a , que são números diferentes, o limite quando não pode existir (se existisse teria de ser o mesmo para todo caminho). - Portanto o limite não existe.
Dica rápida para a prova: quando o numerador e os termos do denominador têm potências de
relacionadas (aqui
e
), experimentar caminhos do tipo
com
escolhendo igualar ordens é uma estratégia eficaz para detectar dependência do caminho.
Resposta
O limite não existe.