Verifique se a função f(x, y) é contínua no ponto dado (a, b). Justifique sua resposta usando a definição de continuidade.
f(x, y)=x^{3}-4 x y+y^{2} no ponto (2,-1).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}-4xy+y^{2} e pede para verificar se f é contínua no ponto (a,b)=(2,-1).
Informações relevantes:
  • A função f é um polinômio em x e y.
  • O ponto onde queremos continuidade é (2,-1).
    O que se pede: usar a definição de continuidade para justificar se f é contínua em (2,-1).

Passo 2

Relembrando a definição de continuidade (versão epsilon–delta):
A função f é contínua em (2,-1) se, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 tal que, sempre que
\sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta,
então
\lvert f(x,y)-f(2,-1)\rvert<\varepsilon.
Vou usar essa definição diretamente, construindo uma estimativa do tipo \lvert f(x,y)-f(2,-1)\rvert \le C_1\lvert x-2\rvert + C_2\lvert y+1\rvert (para pontos próximos) e, a partir daí, escolher \delta em função de \varepsilon.

Passo 3

Calcular o valor de f no ponto:
f(2,-1)=2^{3}-4\cdot2\cdot(-1)+(-1)^{2}=8+8+1=17.
Então queremos fazer \lvert f(x,y)-17\rvert pequeno quando (x,y) estiver perto de (2,-1).

Passo 4

Escrevemos a diferença e usamos a desigualdade triangular:
\lvert f(x,y)-17\rvert = \lvert x^{3}-4xy+y^{2}-17\rvert \le \lvert x^{3}-8\rvert + 4\lvert xy+2\rvert + \lvert y^{2}-1\rvert.
Aqui usei que 17=8+8+1 e apliquei \lvert A+B+C\rvert\le\lvert A\rvert+\lvert B\rvert+\lvert C\rvert.

Passo 5

Vamos estimar cada termo em função de \lvert x-2\rvert e \lvert y+1\rvert. Para tornar as contas simples, suponha primeiro que
\lvert x-2\rvert<1\quad\text{e}\quad \lvert y+1\rvert<1.
Isso implica \lvert x\rvert\le 3 e \lvert y\rvert\le 2.
  1. Para \lvert x^{3}-8\rvert usamos fatoração:
x^{3}-8=(x-2)(x^{2}+2x+4),
então, com \lvert x\rvert\le 3,
\lvert x^{3}-8\rvert \le \lvert x-2\rvert\big(\lvert x\rvert^{2}+2\lvert x\rvert+4\big) \le \lvert x-2\rvert(9+6+4)=19\lvert x-2\rvert.
  1. Para \lvert xy+2\rvert usamos a substituição x=2+h,\\ y=-1+k com h=x-2,\\ k=y+1. Calcula-se
xy+2 = (2+h)(-1+k)+2 = -2 +2k -h + hk +2 = 2k - h + hk.
Logo
\lvert xy+2\rvert \le 2\lvert k\rvert + \lvert h\rvert + \lvert h\rvert\lvert k\rvert.
Com \lvert h\rvert<1 e \lvert k\rvert<1 temos \lvert h\rvert\lvert k\rvert<\lvert h\rvert, então
\lvert xy+2\rvert \le 2\lvert y+1\rvert + 2\lvert x-2\rvert.
Multiplicando por 4:
4\lvert xy+2\rvert \le 8\lvert y+1\rvert + 8\lvert x-2\rvert.
  1. Para \lvert y^{2}-1\rvert escrevemos y^{2}-1=(y+1)(y-1). Com \lvert y+1\rvert<1 obtemos \lvert y-1\rvert\le \lvert y+1\rvert +2\le 3, então
\lvert y^{2}-1\rvert \le 3\lvert y+1\rvert.

Passo 6

Somando as estimativas dos três termos, quando \lvert x-2\rvert<1 e \lvert y+1\rvert<1 obtemos
\lvert f(x,y)-17\rvert \le 19\lvert x-2\rvert + \big(8\lvert x-2\rvert + 8\lvert y+1\rvert\big) + 3\lvert y+1\rvert.
Reagrupando,
\lvert f(x,y)-17\rvert \le 27\lvert x-2\rvert + 11\lvert y+1\rvert.
Se ainda exigirmos \sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta, então \lvert x-2\rvert<\delta e \lvert y+1\rvert<\delta, e portanto
\lvert f(x,y)-17\rvert \le (27+11)\delta = 38\delta.

Passo 7

Agora fazemos a escolha \delta=\min\bigl(1,\tfrac{\varepsilon}{38}\bigr). Então, sempre que \sqrt{(x-2)^{2}+(y+1)^{2}}<\delta temos \lvert f(x,y)-17\rvert \le 38\delta \le 38\cdot\frac{\varepsilon}{38}=\varepsilon. Isso prova, via definição epsilon–delta, que f é contínua em (2,-1).
Observação final (didática e motivadora): outra forma mais curta de ver isso é lembrar que soma, produto e potências de funções polinomiais são contínuas e f é um polinômio em x e y; logo é contínua em todo \mathbb{R}^{2}. Mas aqui fiz o argumento epsilon–delta detalhado para atender ao pedido de usar a definição.

Resposta

Sim. A função f(x,y)=x^{3}-4xy+y^{2} é contínua em (2,-1).

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