Verifique se a função
é contínua no ponto dado
. Justifique sua resposta usando a definição de continuidade.
no ponto
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se
é contínua no ponto
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função
é um polinômio em e . - O ponto onde queremos continuidade é
.
O que se pede: usar a definição de continuidade para justificar seé contínua em .
Passo 2
Relembrando a definição de continuidade (versão epsilon–delta):
A função é contínua em
se, para todo
, existe
tal que, sempre que
A função
então
Vou usar essa definição diretamente, construindo uma estimativa do tipo
(para pontos próximos) e, a partir daí, escolher
em função de
.
Passo 3
Calcular o valor de
no ponto:
Então queremos fazer
pequeno quando
estiver perto de
.
Passo 4
Escrevemos a diferença e usamos a desigualdade triangular:
Aqui usei que
e apliquei
.
Passo 5
Vamos estimar cada termo em função de
e
. Para tornar as contas simples, suponha primeiro que
Isso implica
e
.
- Para
usamos fatoração:
então, com
,
- Para
usamos a substituição com . Calcula-se
Logo
Com
e
temos
, então
Multiplicando por
:
- Para
escrevemos . Com obtemos , então
Passo 6
Somando as estimativas dos três termos, quando
e
obtemos
Reagrupando,
Se ainda exigirmos
, então
e
, e portanto
Passo 7
Agora fazemos a escolha
. Então, sempre que
temos
. Isso prova, via definição epsilon–delta, que
é contínua em
.
Observação final (didática e motivadora): outra forma mais curta de ver isso é lembrar que soma, produto e potências de funções polinomiais são contínuas e
é um polinômio em
e
; logo é contínua em todo
. Mas aqui fiz o argumento epsilon–delta detalhado para atender ao pedido de usar a definição.
Resposta
Sim. A função
é contínua em
.