Determine o limite caso exista ou mostre que não existe

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=sinl(x^2+y^2r)x^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limites em várias variáveis usando coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta,
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x^2+y^2=r^2
e a função fica
f(r,theta) =sinl(r^2r)r^2
Note que não há dependência de theta.

Passo 3

Como rto0 implica r^2to0, usamos o limite unidimensional conhecido
limuto0sin(u)u=1
Bastando tomar u=r^2, obtemos
limrto0sin(r^2)r^2=1

Resposta

1

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