Determine o limite caso exista ou mostre que não existe
lim (x, y, z) (0,0,0) x^2+y^2-z^2x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede o limite de
f(x,y,z)=x^2+y^2-z^2x^2+y^2+z^2
quando (x,y,z)to(0,0,0). Como estamos em três variáveis, para o limite existir o valor de f ao se aproximar da origem deve ser o mesmo por qualquer caminho. Vamos testar caminhos diferentes.

Passo 2

Considere o caminho z=0. Nesse caso
f(x,y,0)=x^2+y^2-0^2x^2+y^2+0^2 =x^2+y^2x^2+y^2=1
sempre que (x,y)neq(0,0). Logo, ao longo de z=0,
lim(x,y,0)to(0,0,0)f(x,y,0)=1

Passo 3

Agora considere o caminho x=y=0. Nesse caso
f(0,0,z)=0+0-z^20+0+z^2 =-1
sempre que zneq0. Então ao longo de x=y=0,
lim(0,0,z)to(0,0,0)f(0,0,z)=-1

Passo 4

Como recorremos a dois caminhos que levam a limites diferentes ( 1 pelo caminho z=0 e -1 pelo caminho x=y=0), concluímos que o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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