Para fazer a colheita de toras de eucalipto, uma empresa utiliza uma harvester. A máquina gasta uma quantidade fixa de combustível para locomoção até a área da colheita e mais uma quantidade variável de combustível de acordo com a quantidade de m^3 colhidos. Dessa forma, a função f(x) que revela a quantidade colhida em função do combustível é uma função linear afim. Dados:
I - Com consumo de 28 litros de diesel, podem ser colhidos 40 m^3 de eucalipto.
II - Com consumo de 60 litros de diesel, podem ser colhidos 100 m^3 de eucalipto.
(a) Esboce a reta e identifique os pontos dos dados do problema.
(b) Qual a produtividade da máquina durante a fase de colheita, em m^3l ?
(c) Qual a menor quantidade de litros de diesel que fazem sentido para o problema?
(d) Quantos m^3 de eucalipto podem ser colhidos com 50 litros de diesel?
(e) Quantos litros de diesel são necessários para colher 200 m^3 de eucalipto?
(f) O que a função inversa de f(x) calcula? (Explique, mas não calcule)

Passo 1

O enunciado modela o consumo de diesel por uma função afim
f(x)=a x + b
onde x é o consumo em litros e f(x) é o volume colhido em m^3. Temos dois pontos dados:
(28,40)e(60,100)
Vamos calcular o coeficiente angular a (custo variável) e o coeficiente linear b (gasto fixo), depois usar essa reta para responder (a)–(f).

Passo 2

Para encontrar o coeficiente angular a usamos a definição
a=f(60)-f(28)60-28 =100-4032 =6032 =158 approx 1,875

Passo 3

Para achar o coeficiente linear b substituímos um ponto em f(x)=tfrac158x+b:
40=158cdot 28 + b ;Longrightarrow; 40=52,5 + b ;Longrightarrow; b=-12,5
Logo a função é
f(x)=158,x -12,5

Passo 4

O gráfico de f no plano (x,f(x)) é uma reta que passa pelos pontos (28,40) e (60,100). No esboço marcamos no eixo horizontal x (litros) e no vertical f(x) ( m^3), identificando esses dois pontos.

Passo 5

A produtividade durante a colheita é o coeficiente angular, isto é
a=158approx1,875 m^3l

Passo 6

A menor quantidade de litros que faz sentido ocorre quando f(x)>=0:
158x -12,5>=0 ;Longrightarrow; x>=12,515/8 =12,5cdot815 =10015 approx6,667 l

Passo 7

Para x=50 litros:
f(50)=158cdot50 -12,5 =93,75 -12,5 =81,25 m^3

Passo 8

Para colher 200 m^3 resolvemos
158x -12,5 =200 ;Longrightarrow; 158x =212,5 ;Longrightarrow; x=212,5cdot815 =170015 approx113,33 l

Passo 9

A inversa f^-1(y) calcula, para um dado volume y em m^3, quantos litros de diesel x são necessários para colher esse volume, invertendo a relação y=f(x).

Resposta

(a) Gráfico da reta que passa por (28,40) e (60,100).
(b) 1,875 m^3/l
(c) Aproximadamente 6,667 litros.
(d) 81,25 m^3
(e) Aproximadamente 113,33 litros.
(f) A função inversa calcula quantos litros de diesel são necessários para obter um dado volume de colheita em m^3.

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