Questão 5. Usando o Wronskiano descubra se as funções a seguir são ou não LI:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a questão que pede para descobrir se as funções e são linearmente independentes usando o Wronskiano. Esse método faz parte da matéria de Equações Diferenciais e nos ajuda a verificar se as soluções de uma equação são independentes umas das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o Wronskiano dessas duas funções. O Wronskiano, representado por , é definido como o determinante da matriz formada pelas funções e suas derivadas. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções y1 e y2 .
Para y1(t) = e^lambda t cos(t) :
y1'(t) = ddt(e^lambda t) cos(t) + e^lambda t ddt(cos(t)) = lambda e^lambda t cos(t) - e^lambda t sin(t)
Para y2(t) = e^lambda t sin(t) :
y2'(t) = ddt(e^lambda t) sin(t) + e^lambda t ddt(sin(t)) = lambda e^lambda t sin(t) + e^lambda t cos(t)
Passo 4
Agora, vamos montar a matriz do Wronskiano com as funções e suas derivadas:
W(y1, y2) = e^lambda t cos(t) & e^lambda t sin(t) lambda e^lambda t cos(t) - e^lambda t sin(t) & lambda e^lambda t sin(t) + e^lambda t cos(t)
Passo 5
Vamos calcular o determinante dessa matriz:
W = e^lambda t cos(t) cdot (lambda e^lambda t sin(t) + e^lambda t cos(t)) - e^lambda t sin(t) cdot (lambda e^lambda t cos(t) - e^lambda t sin(t))
Passo 6
Simplificando cada termo:
W = e^2lambda t cos(t) (lambda sin(t) + cos(t)) - e^2lambda t sin(t) (lambda cos(t) - sin(t))
Distribuindo:
W = lambda e^2lambda t cos(t) sin(t) + e^2lambda t cos^2(t) - lambda e^2lambda t sin(t) cos(t) + e^2lambda t sin^2(t)
Passo 7
Observamos que os termos lambda e^2lambda t cos(t) sin(t) e -lambda e^2lambda t sin(t) cos(t) se cancelam. Restando:
W = e^2lambda t cos^2(t) + e^2lambda t sin^2(t) = e^2lambda t (cos^2(t) + sin^2(t))
Passo 8
Sabemos que cos^2(t) + sin^2(t) = 1 . Portanto:
W = e^2lambda t cdot 1 = e^2lambda t
Resposta
Como e^2lambda t nunca é zero para nenhum valor de t , o Wronskiano é diferente de zero. Portanto, as funções y1(t) e y2(t) são linearmente independentes.