J) Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
sum k+1raizk^3 / 2+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=1^infty k+1raizk^3/2+1
é convergente ou divergente, e explicitar o teste utilizado. Vamos usar o Teste da Divergência (também chamado de critério do termo geral), que diz que se
limktoinftyakneq0
então a série sum ak diverge.

Passo 2

Analisamos o comportamento assintótico do termo geral
ak=k+1raizk^3/2+1
Para k grande temos k+1sim k e raizk^3/2+1sim k^3/4. Logo
ak =k,(1+1/k)k^3/4raiz1+1/k^3/2 =k^1-3/4,1+1/kraiz1+1/k^3/2 =k^1/4,1+1/kraiz1+1/k^3/2
Como limktoinfty1+1/kraiz1+1/k^3/2=1, segue
limktoinftyak =limktoinftyk^1/4 =+infty

Passo 3

Pelo Teste da Divergência, se limktoinftyakneq0 (aqui diverge para +infty), então a série sum ak diverge.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Divergência, pois seu termo geral não tende a zero.

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