1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
m) \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} \ln \left[\frac{x y-1}{2 x y+4}\right]

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \ln\!\left[\frac{xy-1}{2xy+4}\right].
Informações fornecidas (o que temos no ponto de interesse):
  • O ponto para o qual (x,y) se aproxima é (1,2).
  • A função a ser analisada é a composição da função logaritmo natural \ln(\cdot) com a função racional (x,y)\mapsto\frac{xy-1}{2xy+4}.
O que precisamos determinar:
  • Se o limite existe quando (x,y)\to(1,2).
  • Se existir, calcular o valor do limite.

Passo 2

Avalio os componentes da expressão no ponto (1,2) (isso são apenas substituições diretas):
xy\Big|_{(1,2)} = 1\cdot 2 = 2,
xy-1\Big|_{(1,2)} = 2-1 = 1,
2xy+4\Big|_{(1,2)} = 2\cdot 2 + 4 = 8.
Logo, o valor da fração no ponto é
\frac{xy-1}{2xy+4}\Bigg|_{(1,2)} = \frac{1}{8}.
Observação importante: \dfrac{1}{8}>0 e o denominador no ponto vale 8\neq 0. Isso indica que não há problema imediato de domínio do logaritmo nem de divisão por zero exatamente no ponto.

Passo 3

Vou explicitar os resultados (teoremas) que vou usar — cada um em linguagem simples e com o porquê de poder aplicá‑lo aqui:
  1. Teorema da continuidade de polinômios e combinações lineares: polinômios e funções definidas por soma, produto e função linear são contínuos. Em particular, (x,y)\mapsto xy, (x,y)\mapsto xy-1 e (x,y)\mapsto 2xy+4 são funções contínuas de (x,y).
  2. Regras de limite (operações com limites): se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=M, então
    • \lim(f+g)=L+M,
    • \lim(f\cdot g)=L\cdot M,
    • e, se M\neq 0, \lim(f/g)=L/M.
      Isso vale aqui porque as funções componentes são contínuas.
  3. Continuidade do logaritmo natural em (0,\infty): a função \ln é contínua para entradas positivas. Assim, se a fração \dfrac{xy-1}{2xy+4} tende a um número positivo A>0, então
    \lim_{(x,y)\to(1,2)} \ln\!\left(\frac{xy-1}{2xy+4}\right) = \ln\!\left(\lim_{(x,y)\to(1,2)}\frac{xy-1}{2xy+4}\right).
Esses teoremas justificam trocar limites e operações (produto, soma, quociente) e, por fim, aplicar \ln ao limite da fração, desde que o limite da fração exista e seja positivo.

Passo 4

Aplicando as regras de limite passo a passo para a fração interior:
  1. Primeiro o produto:
\lim_{(x,y)\to(1,2)} xy = \left(\lim_{(x,y)\to(1,2)} x\right)\left(\lim_{(x,y)\to(1,2)} y\right) = 1\cdot 2 = 2,
já que as projeções x\mapsto x e y\mapsto y são contínuas.
  1. Então
\lim_{(x,y)\to(1,2)} (xy-1) = \lim_{(x,y)\to(1,2)} xy - 1 = 2-1 = 1,
e
\lim_{(x,y)\to(1,2)} (2xy+4) = 2\cdot \lim_{(x,y)\to(1,2)}xy + 4 = 2\cdot 2 + 4 = 8.
  1. Como o limite do denominador é 8\neq 0, pelo teorema do quociente:
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{xy-1}{2xy+4} = \frac{1}{8}.

Passo 5

Verificação de positividade próxima ao ponto (para garantir que o logaritmo esteja bem definido nas proximidades):
  • O limite da fração é \dfrac{1}{8}>0. Como a fração é uma função contínua de (x,y), existe um raio r>0 tal que, para 0<\|(x,y)-(1,2)\|<r, a fração fica próxima de \dfrac{1}{8} e, em particular, permanece positiva. Uma maneira concreta de ver isso sem formalizar \varepsilon- \delta: se |xy-2|<1 então xy\in(1,3), daí xy-1\in(0,2) e 2xy+4\in(6,10), portanto a fração é positiva. E é possível garantir |xy-2|<1 para (x,y) suficientemente próximos de (1,2) devido à continuidade de xy.
Assim, para pontos próximos o suficiente de (1,2) a expressão dentro do \ln é positiva, permitindo o uso da continuidade de \ln.

Passo 6

Aplicando a continuidade de \ln em (0,\infty) ao limite já calculado da fração:
\lim_{(x,y)\to(1,2)} \ln\!\left(\frac{xy-1}{2xy+4}\right) = \ln\!\left(\lim_{(x,y)\to(1,2)} \frac{xy-1}{2xy+4}\right) = \ln\!\left(\frac{1}{8}\right).
Simplificando o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{1}{8}\right) = \ln(1) - \ln(8) = -\ln(8) = -3\ln(2).

Resposta

\ln\!\left(\dfrac{1}{8}\right) = -3\ln(2)

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