Informações fornecidas (o que temos no ponto de interesse):
O ponto para o qual (x,y) se aproxima é (1,2).
A função a ser analisada é a composição da função logaritmo natural \ln(\cdot) com a função racional (x,y)\mapsto\frac{xy-1}{2xy+4}.
O que precisamos determinar:
Se o limite existe quando (x,y)\to(1,2).
Se existir, calcular o valor do limite.
Passo 2
Avalio os componentes da expressão no ponto (1,2) (isso são apenas substituições diretas):
xy\Big|_{(1,2)} = 1\cdot 2 = 2,
xy-1\Big|_{(1,2)} = 2-1 = 1,
2xy+4\Big|_{(1,2)} = 2\cdot 2 + 4 = 8.
Logo, o valor da fração no ponto é
\frac{xy-1}{2xy+4}\Bigg|_{(1,2)} = \frac{1}{8}.
Observação importante: \dfrac{1}{8}>0 e o denominador no ponto vale 8\neq 0. Isso indica que não há problema imediato de domínio do logaritmo nem de divisão por zero exatamente no ponto.
Passo 3
Vou explicitar os resultados (teoremas) que vou usar — cada um em linguagem simples e com o porquê de poder aplicá‑lo aqui:
Teorema da continuidade de polinômios e combinações lineares: polinômios e funções definidas por soma, produto e função linear são contínuos. Em particular, (x,y)\mapsto xy, (x,y)\mapsto xy-1 e (x,y)\mapsto 2xy+4 são funções contínuas de (x,y).
Regras de limite (operações com limites): se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L e \lim_{(x,y)\to(a,b)} g(x,y)=M, então
\lim(f+g)=L+M,
\lim(f\cdot g)=L\cdot M,
e, se M\neq 0, \lim(f/g)=L/M.
Isso vale aqui porque as funções componentes são contínuas.
Continuidade do logaritmo natural em (0,\infty): a função \ln é contínua para entradas positivas. Assim, se a fração \dfrac{xy-1}{2xy+4} tende a um número positivo A>0, então
Esses teoremas justificam trocar limites e operações (produto, soma, quociente) e, por fim, aplicar \ln ao limite da fração, desde que o limite da fração exista e seja positivo.
Passo 4
Aplicando as regras de limite passo a passo para a fração interior:
Verificação de positividade próxima ao ponto (para garantir que o logaritmo esteja bem definido nas proximidades):
O limite da fração é \dfrac{1}{8}>0. Como a fração é uma função contínua de (x,y), existe um raio r>0 tal que, para 0<\|(x,y)-(1,2)\|<r, a fração fica próxima de \dfrac{1}{8} e, em particular, permanece positiva. Uma maneira concreta de ver isso sem formalizar \varepsilon-\delta: se |xy-2|<1 então xy\in(1,3), daí xy-1\in(0,2) e 2xy+4\in(6,10), portanto a fração é positiva. E é possível garantir |xy-2|<1 para (x,y) suficientemente próximos de (1,2) devido à continuidade de xy.
Assim, para pontos próximos o suficiente de (1,2) a expressão dentro do \ln é positiva, permitindo o uso da continuidade de \ln.
Passo 6
Aplicando a continuidade de \ln em (0,\infty) ao limite já calculado da fração: