A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0) (no denominador aparece x^{2}+y^{2}).
O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
A pergunta é: o limite existe? Se sim, qual é o seu valor?
Passo 2
Escolha de método e teoremas que serão usados (sem resolver ainda):
Usarei a troca para coordenadas polares porque a expressão tem potências homogêneas de x e y (grau 3 no numerador e grau 2 no denominador). Nas coordenadas polares os termos em x,y ficam em potências de r (a distância ao origem), o que facilita ver o comportamento quando (x,y)\to(0,0).
Usarei o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem): se \varphi(r)\le g(r)\le\psi(r) e ambos \varphi(r) e \psi(r) tendem a L quando r\to0, então g(r)\to L.
Também usarei que as funções trigonométricas \cos\theta e \sin\theta são limitadas (em módulo, \le1), o que fornece um limite independente do ângulo.
Passo 3
Passo para coordenadas polares. Definições e interpretação:
Definir x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 e \theta é o ângulo.
Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0^{+} (o ângulo \theta pode variar livremente).
Substituindo na função:
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que ambos os limites das funções bounding -2r e 2r são 0.
Pelo Teorema do Confronto, a função r(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta) (que é a mesma que nosso quociente) também tende a 0 quando r\to0, ou seja quando (x,y)\to(0,0).
Assim o limite existe e vale 0.
Observação de verificação rápida: percorrendo qualquer reta y=mx obtemos