1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
s) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite, se existir, do seguinte quociente quando (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0) (no denominador aparece x^{2}+y^{2}).
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
  • A pergunta é: o limite existe? Se sim, qual é o seu valor?

Passo 2

Escolha de método e teoremas que serão usados (sem resolver ainda):
  • Usarei a troca para coordenadas polares porque a expressão tem potências homogêneas de x e y (grau 3 no numerador e grau 2 no denominador). Nas coordenadas polares os termos em x,y ficam em potências de r (a distância ao origem), o que facilita ver o comportamento quando (x,y)\to(0,0).
  • Usarei o Teorema do Confronto (Teorema do Aperto / Squeeze theorem): se \varphi(r)\le g(r)\le\psi(r) e ambos \varphi(r) e \psi(r) tendem a L quando r\to0, então g(r)\to L.
  • Também usarei que as funções trigonométricas \cos\theta e \sin\theta são limitadas (em módulo, \le1), o que fornece um limite independente do ângulo.

Passo 3

Passo para coordenadas polares. Definições e interpretação:
  • Definir x=r\cos\theta, y=r\sin\theta, onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 e \theta é o ângulo.
  • Quando (x,y)\to(0,0) temos r\to0^{+} (o ângulo \theta pode variar livremente).
    Substituindo na função:
\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = \frac{r^{3}\bigl(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\bigr)}{r^{2}} = r\bigl(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\bigr).

Passo 4

Análise do fator angular e desigualdade útil:
  • Vamos estudar o valor absoluto da expressão para aplicar o Teorema do Confronto:
\left|r\bigl(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\bigr)\right| = r\left|\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\right| \le r\bigl(|\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|\bigr).
  • Como para todo \theta vale |\cos\theta|\le1 e |\sin\theta|\le1, tem-se |\cos^{3}\theta|\le|\cos\theta|\le1 e |\sin^{3}\theta|\le|\sin\theta|\le1. Logo
|\cos^{3}\theta|+|\sin^{3}\theta|\le 1+1 = 2.
  • Portanto, para todo (x,y)\neq(0,0),
\left|\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le 2r = 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 5

Aplicação do Teorema do Confronto e conclusão:
  • Temos a desigualdade em módulo
-\;2r \le r\bigl(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta\bigr)\le 2r.
  • Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que ambos os limites das funções bounding -2r e 2r são 0.
  • Pelo Teorema do Confronto, a função r(\cos^{3}\theta-\sin^{3}\theta) (que é a mesma que nosso quociente) também tende a 0 quando r\to0, ou seja quando (x,y)\to(0,0).
  • Assim o limite existe e vale 0.
Observação de verificação rápida: percorrendo qualquer reta y=mx obtemos
\frac{x^{3}-y^{3}}{x^{2}+y^{2}}=\frac{x^{3}-m^{3}x^{3}}{x^{2}+m^{2}x^{2}} = x\frac{1-m^{3}}{1+m^{2}}\to0\quad\text{quando }x\to0,
o que está de acordo com a conclusão.

Resposta

0

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