1. Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
y) \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(y^{2}+x^{2}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar o limite (se existir) do seguinte quociente quando (x,y) tende a (0,0):
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(y^{2}+x^{2}\right)^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é definida por f(x,y)=\dfrac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{(y^{2}+x^{2})^{2}} para (x,y)\neq(0,0).
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Deve-se decidir se o limite existe e, se sim, calcular seu valor; caso contrário, demonstrar que não existe.

Passo 2

Vou lembrar um resultado útil (explicando bem): se existir \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L, então o valor das funções ao longo de qualquer caminho que leve a (0,0) deve tender ao mesmo L. Em particular, se for possível encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam a (0,0) e dando limites diferentes, isso prova que o limite total não existe.
Explicando de forma bem simples: numa função de duas variáveis, a ideia de limite exige que, não importa por onde eu me aproxime do ponto, o valor da função vá para o mesmo número. Se por um caminho dá 0 e por outro caminho dá 1, então não há número único que funcione para todas as aproximações — logo o limite não existe.
Vou aplicar exatamente esse teste de caminhos (que é direto e elementar).

Passo 3

Escolho primeiro o caminho eixo x-horizontal: y=0 (aproximação pelo eixo x). Substituo y=0 na expressão da função.
f(x,0)=\frac{0^{4}+3x^{2}\cdot 0^{2}+2\cdot 0\cdot x^{3}}{(0^{2}+x^{2})^{2}}=\frac{0}{(x^{2})^{2}}=0,\qquad \text{para }x\neq 0.
Portanto, ao aproximar (x,0) para (0,0) (isto é, x\to 0 com y=0), o valor da função é sempre 0, e o limite ao longo desse caminho é
\lim_{x\to 0} f(x,0)=0.

Passo 4

Agora escolho o caminho eixo y-vertical: x=0 (aproximação pelo eixo y). Substituo x=0 na expressão.
f(0,y)=\frac{y^{4}+3\cdot 0^{2}\cdot y^{2}+2\,y\cdot 0^{3}}{(y^{2}+0^{2})^{2}}=\frac{y^{4}}{(y^{2})^{2}}=\frac{y^{4}}{y^{4}}=1,\qquad \text{para }y\neq 0.
Logo, ao aproximar (0,y) para (0,0) (isto é, y\to 0 com x=0), o valor da função é sempre 1, e
\lim_{y\to 0} f(0,y)=1.

Passo 5

Temos dois caminhos chegando a (0,0) que dão limites diferentes: pelo eixo x o limite é 0 e pelo eixo y o limite é 1. Pelo resultado citado no Passo 2, isso mostra que
\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{\left(y^{2}+x^{2}\right)^{2}}
não pode existir (não há um único valor limite).

Passo 6

(Complemento interpretativo, para fixar a ideia — opcional mas útil.) Se quiser ver isso de outro ângulo, usa-se coordenadas polares x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta. Substituindo, nota-se que há cancelamento de r^{4} e a expressão fica dependente só de \theta:
\frac{y^{4}+3 x^{2} y^{2}+2 y x^{3}}{(y^{2}+x^{2})^{2}} = \sin^{4}\theta+3\cos^{2}\theta\sin^{2}\theta+2\sin\theta\cos^{3}\theta.
Isso mostra que, para qualquer r>0, o valor da função depende apenas do ângulo \theta. Como \theta pode variar quando (x,y) se aproxima de (0,0), não há um único valor limite quando r\to 0. Em particular, para \theta=0 (eixo x) a expressão vale 0 e para \theta=\tfrac{\pi}{2} (eixo y) vale 1, confirmando a conclusão anterior.

Resposta

O limite não existe.

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