- Determine o limite exibindo quais resultados (teoremas) foram utilizados para tal, se ele existir, ou demonstre que o limite não existe:
y)
Passo 1
O enunciado pede para determinar o limite (se existir) do seguinte quociente quando
tende a
:
Informações dadas:
- A função é definida por
para . - O ponto de interesse é
. - Deve-se decidir se o limite existe e, se sim, calcular seu valor; caso contrário, demonstrar que não existe.
Passo 2
Vou lembrar um resultado útil (explicando bem): se existir
, então o valor das funções ao longo de qualquer caminho que leve a
deve tender ao mesmo
. Em particular, se for possível encontrar duas curvas (dois caminhos) que chegam a
e dando limites diferentes, isso prova que o limite total não existe.
Explicando de forma bem simples: numa função de duas variáveis, a ideia de limite exige que, não importa por onde eu me aproxime do ponto, o valor da função vá para o mesmo número. Se por um caminho dá 0 e por outro caminho dá 1, então não há número único que funcione para todas as aproximações — logo o limite não existe.
Vou aplicar exatamente esse teste de caminhos (que é direto e elementar).
Passo 3
Escolho primeiro o caminho eixo
-horizontal:
(aproximação pelo eixo
). Substituo
na expressão da função.
Portanto, ao aproximar
para
(isto é,
com
), o valor da função é sempre
, e o limite ao longo desse caminho é
Passo 4
Agora escolho o caminho eixo
-vertical:
(aproximação pelo eixo
). Substituo
na expressão.
Logo, ao aproximar
para
(isto é,
com
), o valor da função é sempre
, e
Passo 5
Temos dois caminhos chegando a
que dão limites diferentes: pelo eixo
o limite é
e pelo eixo
o limite é
. Pelo resultado citado no Passo 2, isso mostra que
não pode existir (não há um único valor limite).
Passo 6
(Complemento interpretativo, para fixar a ideia — opcional mas útil.) Se quiser ver isso de outro ângulo, usa-se coordenadas polares
. Substituindo, nota-se que há cancelamento de
e a expressão fica dependente só de
:
Isso mostra que, para qualquer
, o valor da função depende apenas do ângulo
. Como
pode variar quando
se aproxima de
, não há um único valor limite quando
. Em particular, para
(eixo
) a expressão vale
e para
(eixo
) vale
, confirmando a conclusão anterior.
Resposta
O limite não existe.