Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor.
(b) \lim _{(x, y, z) \rightarrow(0,0,1)} \frac{x y z^{2}}{x^{2}+y^{2}+2 z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,1)} \frac{x\,y\,z^{2}}{x^{2}+y^{2}+2\,z^{2}}.
O conteúdo é cálculo de limite em várias variáveis, usando continuidade quando o denominador no ponto de interesse não se anula.

Passo 2

Observe que, ao aproximar (x,y,z)\to(0,0,1), o numerador
x\,y\,z^{2}
tende a
0\cdot0\cdot1^{2}=0,
enquanto o denominador
x^{2}+y^{2}+2\,z^{2}
tende a
0+0+2\cdot1^{2}=2\neq0.

Passo 3

Como o denominador não se anula no ponto (0,0,1), a função é contínua ali e o limite é simplesmente
\frac{0}{2}=0.

Resposta

0.

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