Determine se o limite existe. lim (x, y) (0,0) x^2 y^4x^4+y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para determinar se o limite existe para a função quando se aproxima de . Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, e vamos usar algumas técnicas básicas de cálculo para resolver.

Passo 2

Primeiro, para verificar se o limite existe, precisamos ver se o valor da função se aproxima do mesmo número independente do caminho que escolhemos para chegar em . Se encontrarmos caminhos diferentes que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos específicos:
Caminho 1: x^2 cdot 0^4x^4 + 0^4 = 0x^4 = 0
Substituindo 0^2 cdot y^40^4 + y^4 = 0y^4 = 0 na função:
Então, ao longo de , o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo :
Ao longo de , o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite muda.
Caminho 3: x^2 cdot x^4x^4 + x^4 = x^62x^4 = x^22
Substituindo limx to 0 x^22 = 0 :
Agora, quando se aproxima de 0:
Então, ao longo de , o limite também é 0.

Passo 5

Até agora, todos os caminhos que testamos deram o limite 0. Mas precisamos ter certeza de que isso acontece para qualquer caminho. Vamos usar coordenadas polares para generalizar.
Em coordenadas polares, onde (r cos theta)^2 cdot (r sin theta)^4(r cos theta)^4 + (r sin theta)^4 = r^6 cos^2 theta sin^4 thetar^4 (cos^4 theta + sin^4 theta) = r^2 cdot cos^2 theta sin^4 thetacos^4 theta + sin^4 theta e , a função fica:
Como tende a 0, e o termo é limitado (sempre menor ou igual a 1), o produto também tende a 0.

Resposta

Portanto, o limite existe e é igual a 0.
lim (x, y) (0,0) x^2 y^4x^4+y^4 = 0

Exercícios relacionados