Determine se o limite existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está nos pedindo para determinar se o limite existe para a função
quando
se aproxima de
. Isso envolve o estudo de limites em funções de duas variáveis, e vamos usar algumas técnicas básicas de cálculo para resolver.
Passo 2
Primeiro, para verificar se o limite existe, precisamos ver se o valor da função se aproxima do mesmo número independente do caminho que escolhemos para chegar em
. Se encontrarmos caminhos diferentes que dão limites diferentes, então o limite geral não existe.
Passo 3
Vamos testar alguns caminhos específicos:
Caminho 1:
Substituindo
na função:
Então, ao longo de
, o limite é 0.
Caminho 2:
Substituindo
:
Ao longo de
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite muda.
Caminho 3:
Substituindo
:
Agora, quando
se aproxima de 0:
Então, ao longo de
, o limite também é 0.
Passo 5
Até agora, todos os caminhos que testamos deram o limite 0. Mas precisamos ter certeza de que isso acontece para qualquer caminho. Vamos usar coordenadas polares para generalizar.
Em coordenadas polares, onde
e
, a função fica:
Como
tende a 0, e o termo
é limitado (sempre menor ou igual a 1), o produto
também tende a 0.
Resposta
Portanto, o limite existe e é igual a 0.