Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. A gente vai usar conceitos de limites e desenvolvimento em série de Taylor para funções trigonométricas. Precisamos lembrar como expandir a função cosseno em uma série de potências para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de Taylor da função
em torno de 0:
Aqui,
,
, e assim por diante.
Passo 3
Agora, substituímos a expansão de
na expressão do numerador:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 5
Analisando cada termo:
-
tende a infinito quando se aproxima de 0. -
tende a 0. - Outros termos com potências maiores de
também tendem a 0.
Então, o termo
domina o comportamento do limite.
Resposta
O limite tende a infinito. Portanto,