lim x 0 cos (x)-1+x^2 / 2x^5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: lim x 0 cos (x)-1+x^22x^5. A gente vai usar conceitos de limites e desenvolvimento em série de Taylor para funções trigonométricas. Precisamos lembrar como expandir a função cosseno em uma série de potências para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de Taylor da função cos(x) em torno de 0:
cos(x) = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + dots
Aqui, 2! = 2, 4! = 24, e assim por diante.

Passo 3

Agora, substituímos a expansão de cos(x) na expressão do numerador:
cos(x) - 1 + x^22 = (1 - x^22 + x^424 - dots ) - 1 + x^22
Simplificando:
cos(x) - 1 + x^22 = x^424 - x^6720 + dots

Passo 4

Agora, substituímos essa simplificação na expressão original do limite:
lim x 0 x^424 - x^6720 + dotsx^5
Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
lim x 0 ( x^424x^5 - x^6720x^5 + dots ) = lim x 0 ( 124x - x720 + dots )

Passo 5

Analisando cada termo:
  • 124x tende a infinito quando x se aproxima de 0.
  • x720 tende a 0.
  • Outros termos com potências maiores de x também tendem a 0.
Então, o termo 124x domina o comportamento do limite.

Resposta

O limite tende a infinito. Portanto,
lim x 0 cos (x)-1+x^22x^5 = +infty

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