Verifique que y(x) é solução para a EDO. x^2 y'' - 3 x y' + 4 y = 0, y(x) = x^2 ln(x), x > 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a função é solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por , onde . Então, nosso objetivo é substituir , e na equação e ver se ela realmente iguala a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . A função é . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Então:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Novamente, usamos a regra do produto para derivar .
Derivando termo a termo:
Aplicando a regra do produto novamente:
Portanto:
E a derivada de é simplesmente 1. Então:

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir na EDO :
Substituindo:
Vamos expandir cada termo:
Agora, vamos juntar os termos semelhantes:
Simplificando:
Ou seja, tudo cancela e fica igual a zero, como a EDO exige.

Resposta

A função satisfaz a equação diferencial dada para todo . Portanto, é solução da EDO .

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