Usando as regras bäsicas e as förmulas da integração, encontre as seguintes integrais:
integral e^xe^x-1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral e^xe^x-1,dx
usando regras básicas de integração, em particular decomposição de fração e substituição.

Passo 2

Vamos reescrever o integrando de modo a separar termos mais simples. Note que
e^xe^x-1 =(e^x-1)+1e^x-1 =1+1e^x-1

Passo 3

Com isso, a integral se divide em duas partes:
integral e^xe^x-1,dx =integral 1,dx + integral 1e^x-1,dx =x + integral 1e^x-1,dx

Passo 4

Para
integral 1e^x-1,dx, fazemos a substituição
u = e^x, du = e^x,dx ;Longrightarrow; dx = duu
Isso leva a
integral 1e^x-1,dx =integral 1u-1,duu =integral 1u(u-1),du
Fazendo frações parciais,
1u(u-1) =-1u+1u-1,
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integral 1u(u-1),du =integrall(-1u+1u-1r),du =-ln|u|+ln|u-1|+C

Passo 5

Voltando a x, temos
-ln|u|+ln|u-1| =-ln|e^x|+ln|e^x-1| =-x+lnlvert e^x-1rvert +C
Somando ao x que veio do Passo 3, cancelam-se os pm x, sobrando
lnlvert e^x-1rvert + C.

Resposta

integral e^xe^x-1,dx =lnl|e^x-1r| + C

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