Determine se o limite existe ou não:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^{2}y+y^{3}}{x^{2}+y^{2}},
que é um problema de limites de funções de duas variáveis. Para mostrar existência do limite, podemos analisar trajetórias simples e, de modo geral, usar coordenadas polares.

Passo 2

Vamos primeiro verificar em retas do tipo y=kx. Substituindo y=kx em
\frac{x^{2}y+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}
temos
\frac{x^{2}\,(kx)+(kx)^{3}}{x^{2}+(kx)^{2}} =\frac{kx^{3}+k^{3}x^{3}}{x^{2}(1+k^{2})} =\;x\;\frac{k+k^{3}}{1+k^{2}}.
Quando x\to0, esse valor vai a 0 para todo k.

Passo 3

Para garantir que o limite é 0 em qualquer direção, usemos coordenadas polares
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta.
Então
x^{2}y+y^{3} =r^{3}\bigl(\cos^{2}\theta\sin\theta+\sin^{3}\theta\bigr), \quad x^{2}+y^{2}=r^{2}.
Logo a função vira
\frac{x^{2}y+y^{3}}{x^{2}+y^{2}} = r\bigl(\cos^{2}\theta\sin\theta+\sin^{3}\theta\bigr).

Passo 4

Note que
\bigl|\cos^{2}\theta\sin\theta+\sin^{3}\theta\bigr|\le |\sin\theta|+|\sin^{3}\theta|\le 2,
portanto
\left|\frac{x^{2}y+y^{3}}{x^{2}+y^{2}}\right| \le 2r.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que a expressão tende a 0 independentemente de \theta. Logo o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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