Exercício 5.1 Calcular as seguantes somas:
\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{10}\left(\frac{-i}{j(j+1)}\right)

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma dupla
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}\left(\frac{-i}{j(j+1)}\right).
Aqui vamos usar a propriedade da linearidade de somas (podemos fatorar partes que dependem só de i ou só de j), a soma telescópica para \frac1{j(j+1)} e a fórmula da soma de uma progressão aritmética para \sum_{i=1}^{10}i.

Passo 2

Observe que em cada termo -i/[j(j+1)] podemos separar as dependências em i e j:
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}\frac{-i}{j(j+1)} =\sum_{i=1}^{10}\Bigl(-i\Bigr)\,\sum_{j=1}^{10}\frac{1}{j(j+1)}.

Passo 3

Calculemos a soma sobre j:
\sum_{j=1}^{10}\frac{1}{j(j+1)} =\sum_{j=1}^{10}\Bigl(\frac1j-\frac1{j+1}\Bigr) =\Bigl(1-\tfrac12\Bigr)+\Bigl(\tfrac12-\tfrac13\Bigr)+\cdots+\Bigl(\tfrac1{10}-\tfrac1{11}\Bigr).
Isso telescopa e sobra
1-\frac1{11}=\frac{10}{11}.

Passo 4

Substituindo de volta, temos
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{10}\frac{-i}{j(j+1)} =\sum_{i=1}^{10}\Bigl(-i\Bigr)\cdot\frac{10}{11} =-\frac{10}{11}\sum_{i=1}^{10}i.
E a soma dos i de 1 a 10 é
\sum_{i=1}^{10}i=\frac{10\cdot11}{2}=55.
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-\frac{10}{11}\times55=-\frac{550}{11}=-50.

Resposta

-50

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