Exercício 5.1 Calcular as seguantes somas:
\sum_{i=1}^{10} \sum_{j=1}^{6}\left(i j+j^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da soma dupla
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}\bigl(i\,j + j^{2}\bigr).
O conteúdo usado aqui é a linearidade das somas e as fórmulas clássicas
\sum_{k=1}^{n}k = \tfrac{n(n+1)}{2} e
\sum_{k=1}^{n}k^{2} = \tfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 2

Separamos a soma usando linearidade:
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}\bigl(i\,j + j^{2}\bigr) = \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}i\,j \;+\; \sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}j^{2}.

Passo 3

Calculamos a primeira parcela:
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}i\,j.
Dentro, \sum_{j=1}^{6}i\,j = i\sum_{j=1}^{6}j = i\cdot21.
Logo,
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}i\,j = \sum_{i=1}^{10}21\,i = 21\sum_{i=1}^{10}i = 21\cdot\frac{10\cdot11}{2} = 21\cdot55 = 1155.

Passo 4

Calculamos a segunda parcela:
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}j^{2}.
Aqui \sum_{j=1}^{6}j^{2} = 1^{2}+2^{2}+\cdots+6^{2} = \tfrac{6\cdot7\cdot13}{6} = 91,
e somamos isso para cada i (dez vezes):
\sum_{i=1}^{10}\sum_{j=1}^{6}j^{2} = 10\cdot91 = 910.

Passo 5

Somando as duas parcelas:
1155 + 910 = 2065.

Resposta

2065

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