1{ }^{\mathbf{a}} Questão) (3,5) Dada f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array} \quad\right.. Pedimos:
a) Encontre as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) para todos os pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} ;
b) Encontre, caso existam, \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
c) Diga, justificando, em quais pontos f é diferenciável e em quais pontos, eventualmente, f não é diferenciável.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{2x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
Perguntas pedidas:
a) Encontrar as expressões de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
b) Calcular, se existirem, \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
c) Dizer, justificando, em quais pontos f é diferenciável e em quais pontos não é diferenciável.]

Passo 2

Vamos achar \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Aqui usamos a regra do quociente: se f=\dfrac{N}{D} com N=N(x,y) e D=D(x,y) e D\neq0, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{N_x D - N D_x}{D^2},
onde N_x é a derivada parcial de N em relação a x e D_x é a derivada parcial de D em relação a x. No nosso caso
N(x,y)=2x^2 y,\qquad D(x,y)=x^2+y^2.
Calculamos as derivadas parciais necessárias:
N_x=\frac{\partial}{\partial x}(2x^2 y)=4xy, \qquad D_x=\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)=2x.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{(4xy)(x^2+y^2)-(2x^2 y)(2x)}{(x^2+y^2)^2}.
Agora simplificamos o numerador: expandindo,
(4xy)(x^2+y^2)-4x^3 y = 4xy(x^2+y^2)-4x^3 y =4xy\bigl(x^2+y^2-x^2\bigr)=4xy\,y^2=4x y^3.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{4x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}

Passo 3

Agora achamos \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Usamos a mesma regra do quociente com as derivadas parciais em y:
N_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x^2 y)=2x^2, \qquad D_y=\frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)=2y.
Aplicando a fórmula:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{(2x^2)(x^2+y^2)-(2x^2 y)(2y)}{(x^2+y^2)^2}.
Simplificando o numerador:
2x^2(x^2+y^2)-4x^2 y^2 = 2x^2\bigl(x^2+y^2-2y^2\bigr)=2x^2(x^2-y^2).
Logo, para (x,y)\neq(0,0),
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.}

Passo 4

Vamos calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) usando a definição de derivada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq0, como y=0,
f(h,0)=\frac{2h^2\cdot 0}{h^2+0}=0,
e f(0,0)=0. Portanto o quociente é 0/h=0 para todo h\neq0, e o limite é 0. Assim
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.}

Passo 5

De forma análoga, para \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) usamos
\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to 0}\frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}.
Para k\neq0, com x=0,
f(0,k)=\frac{2\cdot0\cdot k}{0+k^2}=0,
logo o quociente é 0/k=0 e o limite é 0. Portanto
\boxed{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.}

Passo 6

Agora vamos discutir diferenciabilidade. Primeiro para (x,y)\neq(0,0): a função dada por \dfrac{2x^2 y}{x^2+y^2} é uma razão de polinômios com denominador x^2+y^2 não nulo nesses pontos. Uma razão de funções polinomiais é diferenciável onde o denominador é não nulo; em particular as derivadas parciais encontradas no Passo 2 e Passo 3 existem e são contínuas para (x,y)\neq(0,0). Logo f é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0).

Passo 7

Falta analisar diferenciabilidade em (0,0). Critério prático: f é diferenciável em (0,0) se existe uma transformação linear L(x,y) (a forma diferencial) tal que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-L(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.
Se as derivadas parciais em (0,0) existem, a forma linear candidata é
L(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\,x+\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\,y.
Do Passo 4 e Passo 5 temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, logo L(x,y)\equiv 0. Assim f seria diferenciável em (0,0) somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0.
Para estudar esse limite é muito útil passar para coordenadas polares: escrevemos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^2+y^2}. Para (x,y)\neq(0,0),
f(x,y)=\frac{2x^2 y}{x^2+y^2} = \frac{2(r\cos\theta)^2(r\sin\theta)}{r^2} =2r\cos^2\theta\sin\theta.
Logo
\frac{f(x,y)}{r}=2\cos^2\theta\sin\theta.
Esse quociente depende de \theta e, em geral, não tende a 0 quando r\to0 porque para uma direção fixa \theta o valor é constante em r. Por exemplo, escolhendo \theta=\pi/4 (ou seja y=x\neq0) temos
\cos\theta=\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{2}},
então
\frac{f(x,y)}{r}\to 2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\neq0.
Como o limite \dfrac{f(x,y)}{r} ao aproximar-se pela direção \theta=\pi/4 é \dfrac{1}{\sqrt{2}} e por outras direções pode ser outro valor, o limite não é 0. Portanto a condição para diferenciabilidade em (0,0) falha: f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{4x y^{3}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^{2}(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}},\qquad (x,y)\neq(0,0).
b) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0.
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
c) f é diferenciável em todos os pontos (x,y)\neq(0,0) e não é diferenciável em (0,0).

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