1{ }^{\mathbf{a}} Questão) (3,5) Dada f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{2 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array} \quad\right.. Pedimos:
a) Encontre as expressões de \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) para todos os pontos (x, y) \in \mathbb{R}^{2}-\{(0,0)\} ;
b) Encontre, caso existam, \frac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \frac{\partial f}{\partial y}(0,0);
c) Diga, justificando, em quais pontos f é diferenciável e em quais pontos, eventualmente, f não é diferenciável.
Perguntas pedidas:
a) Encontrar as expressões de \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y) para todos os pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
b) Calcular, se existirem, \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0).
c) Dizer, justificando, em quais pontos f é diferenciável e em quais pontos não é diferenciável.]
Passo 2
Vamos achar \dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y) para (x,y)\neq(0,0). Aqui usamos a regra do quociente: se f=\dfrac{N}{D} com N=N(x,y) e D=D(x,y) e D\neq0, então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{N_x D - N D_x}{D^2},
onde N_x é a derivada parcial de N em relação a x e D_x é a derivada parcial de D em relação a x. No nosso caso
Agora vamos discutir diferenciabilidade. Primeiro para (x,y)\neq(0,0): a função dada por \dfrac{2x^2 y}{x^2+y^2} é uma razão de polinômios com denominador x^2+y^2 não nulo nesses pontos. Uma razão de funções polinomiais é diferenciável onde o denominador é não nulo; em particular as derivadas parciais encontradas no Passo 2 e Passo 3 existem e são contínuas para (x,y)\neq(0,0). Logo f é diferenciável em todo ponto (x,y)\neq(0,0).
Passo 7
Falta analisar diferenciabilidade em (0,0). Critério prático: f é diferenciável em (0,0) se existe uma transformação linear L(x,y) (a forma diferencial) tal que
Do Passo 4 e Passo 5 temos \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0)=0 e \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0, logo L(x,y)\equiv 0. Assim f seria diferenciável em (0,0) somente se
Para estudar esse limite é muito útil passar para coordenadas polares: escrevemos x=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta com r=\sqrt{x^2+y^2}. Para (x,y)\neq(0,0),
Esse quociente depende de \theta e, em geral, não tende a 0 quando r\to0 porque para uma direção fixa \theta o valor é constante em r. Por exemplo, escolhendo \theta=\pi/4 (ou seja y=x\neq0) temos
Como o limite \dfrac{f(x,y)}{r} ao aproximar-se pela direção \theta=\pi/4 é \dfrac{1}{\sqrt{2}} e por outras direções pode ser outro valor, o limite não é 0. Portanto a condição para diferenciabilidade em (0,0) falha: f não é diferenciável em (0,0).