Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (0, y) (x+0)x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=xx^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo usado aqui é o de limites de funções de duas variáveis: para o limite existir, o valor de f(x,y) ao se aproximar de (0,0) deve ser o mesmo independente do caminho.

Passo 2

Analisamos primeiro a aproximação pelo eixo y, isto é, pela reta x=0. Substituindo x=0 em f, obtemos
f(0,y)=00^2+y^2=0
Logo, ao aproximar-se de (0,0) pelo eixo y, o limite é
limyto 0f(0,y)=0

Passo 3

Agora aproximamos pelo eixo x, ou seja, pela reta y=0. Substituindo y=0 em f, obtemos
f(x,0)=xx^2+0^2=1x
Quando xto 0, tfrac1x diverge para +infty se xto0^+ e para -infty se xto0^-. Portanto
limxto0f(x,0)não é um número finito ãéú

Passo 4

Como ao aproximar por x=0 o limite dá 0, mas ao aproximar por y=0 a função diverge, obtemos resultados diferentes. Logo o limite não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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