Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (20) x y-2 yx^2+y^2-4 x+4

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(2,0) xy - 2yx^2 + y^2 - 4x + 4
Observe que ao substituir (x,y)=(2,0) temos numerador 2cdot0-2cdot0=0 e denominador 2^2+0^2-4cdot2+4=0, ou seja, forma indeterminada tfrac00. Para saber se o limite existe, precisamos verificar se o valor é o mesmo em todas as direções de aproximação.

Passo 2

Fatore o numerador e o denominador para simplificar a expressão. No numerador:
xy - 2y = y,(x-2)
No denominador faça completo do quadrado em x:
x^2 -4x +4 + y^2 = (x-2)^2 + y^2
Logo a função fica
xy - 2yx^2 + y^2 - 4x + 4 = y,(x-2)(x-2)^2 + y^2

Passo 3

Facilita analisar o limite fazendo a mudança de variáveis
u = x-2, v = y,
de modo que (x,y)to(2,0) equivale a (u,v)to(0,0). A expressão vira
y,(x-2)(x-2)^2 + y^2 = v,uu^2 + v^2

Passo 4

Para testar dependência de direção, aproxime por retas do tipo v = m,u, com m constante. Então
u,vu^2 + v^2 = u,(m,u)u^2 + (m,u)^2 = m,u^2u^2(1 + m^2) = m1 + m^2
Isso mostra que o valor do limite depende de m: se m=0 0, se m=1 tfrac12, etc.

Passo 5

Como ao mudar m o valor tfracm1+m^2 varia, não existe um único valor do limite. Concluímos que a função não tem limite em (2,0).

Resposta

O limite não existe.

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