Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2+sen^2 yx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^2+sin^2yx^2+y^2
Vamos usar coordenadas polares e uma expansão de sin para mostrar que o limite existe e vale 1.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = rcostheta, y = rsintheta,
com r>=0 e theta arbitrário. Então
x^2+y^2=r^2, sin^2y=sin^2(rsintheta)
A expressão torna-se
x^2+sin^2yx^2+y^2 =r^2cos^2theta+sin^2(rsintheta)r^2

Passo 3

Para rto0 temos t=rsinthetato0, e
sin t = t + O(t^3) Longrightarrow sin^2t = t^2 + o(t^2) = r^2sin^2theta + o(r^2)
Logo o numerador é
r^2cos^2theta + l(r^2sin^2theta + o(r^2)r) = r^2 + o(r^2)

Passo 4

Dividindo pelo denominador r^2 obtemos
r^2+o(r^2)r^2 =1 + o(1),
que tende a 1 independentemente de theta. Portanto o limite existe e vale 1.

Resposta

1

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