Use a regra da cadeia, caso 2 , para determinar partial zpartial s e partial zpartial t das seguintes funções:
z=sen(s t^2) cos (s^2 t)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de \r
z = senl(s,t^2r),cosl(s^2tr)
em relação a s e a t, usando a regra do produto e a regra da cadeia (caso 2). Vamos escrever z = u(s,t),v(s,t) com \r
u(s,t)=senl(s,t^2r), v(s,t)=cosl(s^2tr) \r
e aplicar\r
partial zpartial s = partial upartial s,v + u,partial vpartial s, partial zpartial t = partial upartial t,v + u,partial vpartial t

Passo 2

Calculemos partial u/partial s e partial v/partial s:\r
partial upartial s = cosl(s,t^2r),partial (s,t^2)partial s = cos(s,t^2);t^2,
partial vpartial s = -senl(s^2tr),partial (s^2t)partial s = -sen(s^2t);2,s,t \r
Então, pela regra do produto,\r
partial zpartial s = l(cos(s,t^2),t^2r),cos(s^2t) + sen(s,t^2),l(-2,s,t,sen(s^2t)r) \r
Ou seja,\r
partial zpartial s = t^2cos(s,t^2)cos(s^2t) ;-;2,s,t,sen(s,t^2)sen(s^2t)

Passo 3

Agora partial u/partial t e partial v/partial t:\r
partial upartial t = cosl(s,t^2r),partial (s,t^2)partial t = cos(s,t^2);2,s,t,
partial vpartial t = -senl(s^2tr),partial (s^2t)partial t = -sen(s^2t);s^2 \r
Aplicando a regra do produto,\r
partial zpartial t = l(cos(s,t^2),2,s,tr),cos(s^2t) + sen(s,t^2),l(-s^2,sen(s^2t)r) \r
Ou seja,\r
partial zpartial t = 2,s,t,cos(s,t^2)cos(s^2t) ;-;s^2,sen(s,t^2)sen(s^2t)

Resposta

partial zpartial s = t^2cos(s,t^2)cos(s^2t) -2,s,t,sen(s,t^2)sen(s^2t),
partial zpartial t = 2,s,t,cos(s,t^2)cos(s^2t) - s^2,sen(s,t^2)sen(s^2t)

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