Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y, z) (2,1,-1)(3 x^2 z+y^3 z^4-2 x y z^5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
lim(x,y,z)to(2,1,-1)l(3x^2z + y^3z^4 - 2xyz^5r)
O conteúdo é limite de função de várias variáveis e vamos usar que polinômios em x,y,z são funções contínuas.

Passo 2

Como a função
f(x,y,z) = 3x^2z + y^3z^4 - 2xyz^5
é polinomial em x,y,z, ela é contínua em todo R^3. Logo, o limite quando (x,y,z)to(2,1,-1) é simplesmente
f(2,1,-1)

Passo 3

Vamos substituir x=2, y=1 e z=-1 em cada termo de f:
  1. 3x^2z = 3cdot(2)^2cdot(-1).
  2. y^3z^4 = (1)^3cdot(-1)^4.
  3. -2xyz^5 = -2cdot2cdot1cdot(-1)^5.

Passo 4

Calculando separadamente:
3cdot(2)^2cdot(-1) = 3cdot4cdot(-1) = -12,
(1)^3cdot(-1)^4 = 1cdot1 = 1,
-2cdot2cdot1cdot(-1)^5 = -4cdot(-1) = 4
Somando tudo:
-12 + 1 + 4 = -7

Resposta

lim(x,y,z)to(2,1,-1)l(3x^2z + y^3z^4 - 2xyz^5r) = -7

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