Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 2 x yraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite de
f(x,y)=2xyraizx^2+y^2
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como “squeeze theorem”) para mostrar que f(x,y)to0.

Passo 2

Usamos a desigualdade elementar
2|xy|<= x^2+y^2,
que decorre de
0<= (|x|-|y|)^2 = x^2 - 2|xy| + y^2
Logo,
|2xyraizx^2+y^2| =2|xy|raizx^2+y^2 <=x^2+y^2raizx^2+y^2 =raizx^2+y^2
Como
lim(x,y)to(0,0)raizx^2+y^2=0,
o Teorema do Confronto implica
lim(x,y)to(0,0)2xyraizx^2+y^2=0

Resposta

O limite existe e vale 0.

Exercícios relacionados