A função
é diferenciável em
. A derivada direcional de
no ponto
na direção que aponta para
é 2 , e a derivada direcional em
na direção que aponta para
é -2 . Determine:
a) O gradiente de
em
;
b) A derivada direcional de
em
na direção que aponta para
.
a) O gradiente de
b) A derivada direcional de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis,
, que é diferenciável no espaço
. No ponto
, sabemos as derivadas direcionais em duas direções específicas. Vamos precisar entender sobre gradiente e derivada direcional para resolver as partes a) e b) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Matematicamente, a derivada direcional de
em
na direção do vetor
é dada por:
Aqui,
é o gradiente de
no ponto
, e
representa o produto escalar.
Passo 3
Nos foi dado que:
- A derivada direcional na direção que aponta para
é 2. - A derivada direcional na direção que aponta para
é -2.
Primeiro, vamos encontrar os vetores dessas direções:
- Para
, o vetor direção é . - Para
, o vetor direção é .
Agora, vamos normalizar esses vetores para que tenham comprimento 1:
Passo 4
Sabemos que:
Vamos chamar o gradiente de
. Assim, temos:
Resposta
a) O gradiente de
em
é
.