A função z=f(x, y) é diferenciável em R^2. A derivada direcional de f no ponto X0= (2,2) na direção que aponta para (1,2) é 2 , e a derivada direcional em X0 na direção que aponta para (2,1) é -2 . Determine:
a) O gradiente de f em X0;
b) A derivada direcional de f em X0 na direção que aponta para (4,6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis, z = f(x, y) , que é diferenciável no espaço R^2. No ponto X0 = (2, 2) , sabemos as derivadas direcionais em duas direções específicas. Vamos precisar entender sobre gradiente e derivada direcional para resolver as partes a) e b) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função está mudando em uma direção específica a partir de um ponto. Matematicamente, a derivada direcional de f em X0 na direção do vetor u é dada por:
Duf(X0) = nabla f(X0) cdot u
Aqui, nabla f(X0) é o gradiente de f no ponto X0 , e cdot representa o produto escalar.

Passo 3

Nos foi dado que:
  1. A derivada direcional na direção que aponta para (1, 2) é 2.
  2. A derivada direcional na direção que aponta para (2, 1) é -2.
Primeiro, vamos encontrar os vetores dessas direções:
  • Para (1, 2) , o vetor direção é u1 = (1 - 2, 2 - 2) = (-1, 0) .
  • Para (2, 1) , o vetor direção é u2 = (2 - 2, 1 - 2) = (0, -1) .
Agora, vamos normalizar esses vetores para que tenham comprimento 1:
u1 = (-1, 0)raiz(-1)^2 + 0^2 = (-1, 0)
u2 = (0, -1)raiz0^2 + (-1)^2 = (0, -1)

Passo 4

Sabemos que:
Du1f(X0) = nabla f(X0) cdot u1 = 2
Du2f(X0) = nabla f(X0) cdot u2 = -2
Vamos chamar o gradiente de nabla f(X0) = (a, b) . Assim, temos:
(a, b) cdot (-1, 0) = -a = 2 Rightarrow a = -2
(a, b) cdot (0, -1) = -b = -2 Rightarrow b = 2

Resposta

a) O gradiente de f em X0 = (2, 2) é nabla f(X0) = (-2, 2) .

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