Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y)=cos (2 sen(2 x y))-cos (2 x y)4(x y)^2 com(x, y) (0,0).

Passo 1

O enunciado pede
determinar
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) com f(x,y)=cosl(2sin(2xy)r)-cos(2xy)4,(xy)^2
O conteúdo principal aqui é usar séries de Taylor de sin e cos ao redor de zero até ordem suficiente para capturar o termo (xy)^2.

Passo 2

Primeiro expandimos
sin(2xy) em Taylor em torno de 0 até ordem (xy)^3:
sin(2xy) =2xy-(2xy)^36+Ol((xy)^5r) =2xy-86(xy)^3+Ol((xy)^5r)
Multiplicando por 2 obtemos
2sin(2xy) =4xy-83(xy)^3+Ol((xy)^5r)

Passo 3

Agora usamos a expansão
cos u=1-tfracu^22+tfracu^424+O(u^6).
Para u=2sin(2xy) temos
u=4xy-83(xy)^3+Ol((xy)^5r),
então
cosl(2sin(2xy)r) =1-(4xy-tfrac83(xy)^3)^22 +(4xy)^424 +Ol((xy)^6r)
Expandindo até (xy)^4:
(4xy-tfrac83(xy)^3)^2 =16(xy)^2-643(xy)^4+O((xy)^6),
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cosl(2sin(2xy)r) =1-8(xy)^2+643(xy)^4 +25624(xy)^4 +Ol((xy)^6r) =1-8(xy)^2+643(xy)^4 +Ol((xy)^6r)
Para comparação,
cos(2xy) =1-(2xy)^22+(2xy)^424+Ol((xy)^6r) =1-2(xy)^2+23(xy)^4 +Ol((xy)^6r)

Passo 4

Subtraindo as duas expansões para o numerador:
cosl(2sin(2xy)r)-cos(2xy) =l(-8(xy)^2+tfrac643(xy)^4r) -l(-2(xy)^2+tfrac23(xy)^4r) =-6(xy)^2+623(xy)^4+Ol((xy)^6r)
Dividindo por 4(xy)^2
f(x,y) =-6(xy)^2+tfrac623(xy)^4+O((xy)^6)4(xy)^2 =-64+6212(xy)^2+Ol((xy)^4r) =-32+Ol((xy)^2r)
Quando (x,y)to(0,0), o termo de ordem positiva desaparece e sobra -tfrac32.

Resposta

lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=-32

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