Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Passo 1
O enunciado pede
determinar
determinar
O conteúdo principal aqui é usar séries de Taylor de
e
ao redor de zero até ordem suficiente para capturar o termo
.
Passo 2
Primeiro expandimos
em Taylor em torno de
até ordem
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 3
Agora usamos a expansão
.
Para temos
Para
então
Expandindo até
:
logo
logo
Para comparação,
Passo 4
Subtraindo as duas expansões para o numerador:
Dividindo por
dá
Quando
, o termo de ordem positiva desaparece e sobra
.