Seja f contínua em [a, b], com f(x) >= 0 em [a, b]. Denote por A a região do plano limitado pelas retas x=a, x=b, pelo eixo x e pelo gráfico de y=f(x). O volume V do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto A, é dado por
V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
Calcule V nos seguintes casos:
A=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= e, 0 <= y <= ln (x).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno do eixo x, a região
A = (x,y)inR^2 mid 1<= x<= e,;0<= y<= ln(x)
Como f(x)=ln(x) é contínua e não negativa em [1,e], usamos o método dos discos, segundo o qual
V = integral1^e pil[f(x)r]^2,dx = pi integral1^e [ln(x)]^2,dx

Passo 2

Definimos
I = integral [ln(x)]^2,dx
e vamos calculá-lo por partes. Escolhemos
u = [ln(x)]^2, dv = dx,
logo
du = 2,ln(x)x,dx, v = x
Pelo teorema de integração por partes,
I = x,[ln(x)]^2 ;-; 2integral ln(x),dx

Passo 3

Agora calculamos
integral ln(x),dx
também por partes, com
u = ln(x), dv = dx,
de onde
du = 1x,dx, v = x
Temos então
integral ln(x),dx = xln(x) - x

Passo 4

Substituindo em I obtemos
I = x[ln(x)]^2 - 2l(xln(x)-xr) = x[ln(x)]^2 - 2xln(x) + 2x
Logo o volume é
V = piintegral1^e[ln(x)]^2,dx = pil[x(ln x)^2 - 2xln x + 2xr]1^e

Passo 5

Avalia-se em x=e:
ecdot1^2 - 2ecdot1 + 2e = e,
e em x=1:
1cdot0^2 - 2cdot1cdot0 + 2cdot1 = 2
Portanto
integral1^e[ln(x)]^2,dx = e - 2
e

Resposta

V = pi,(e - 2)

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