Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y)=x-2x^2+y^2-5 com(x, y) (2,1).

Passo 1

O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
f(x,y)=x-2x^2+y^2-5
quando (x,y)to(2,1). O conteúdo envolvido é cálculo de limite em várias variáveis e vamos usar a ideia de analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é único.

Passo 2

Primeiro, substituindo diretamente (x,y)=(2,1) no numerador e denominador, vemos que
x-2|(2,1)=0 e x^2+y^2-5|(2,1)=4+1-5=0,
ou seja, a expressão fica na forma tfrac00, um indeterminado. Por isso, precisamos verificar se a aproximação por diferentes caminhos leva ao mesmo valor.

Passo 3

Considere a aproximação ao longo da reta y=1. Então yequiv1 e
f(x,1)=x-2x^2+1-5=x-2x^2-4=x-2(x-2)(x+2)=1x+2,
para xneq2. Ao fazermos xto2, obtemos
limxto2f(x,1)=12+2=14

Passo 4

Agora considere a aproximação ao longo da reta vertical x=2. Então xequiv2 e
f(2,y)=2-24+y^2-5=0y^2-1=0,
para yneq1. Logo
limyto1f(2,y)=0

Passo 5

Como ao longo de y=1 o limite vale tfrac14 e ao longo de x=2 vale 0, não há um único valor para lim(x,y)to(2,1)f(x,y). Portanto, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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