Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe. .
Passo 1
O enunciado pede o limite da função de duas variáveis
quando . O conteúdo envolvido é cálculo de limite em várias variáveis e vamos usar a ideia de analisar diferentes caminhos de aproximação para ver se o limite é único.
Passo 2
Primeiro, substituindo diretamente no numerador e denominador, vemos que
ou seja, a expressão fica na forma tfrac00, um indeterminado. Por isso, precisamos verificar se a aproximação por diferentes caminhos leva ao mesmo valor.
Passo 3
Considere a aproximação ao longo da reta y=1. Então yequiv1 e
f(x,1)=x-2x^2+1-5=x-2x^2-4=x-2(x-2)(x+2)=1x+2,
para xneq2. Ao fazermos xto2, obtemos
limxto2f(x,1)=12+2=14
Passo 4
Agora considere a aproximação ao longo da reta vertical x=2. Então xequiv2 e
f(2,y)=2-24+y^2-5=0y^2-1=0,
para yneq1. Logo
limyto1f(2,y)=0
Passo 5
Como ao longo de y=1 o limite vale tfrac14 e ao longo de x=2 vale 0, não há um único valor para lim(x,y)to(2,1)f(x,y). Portanto, o limite não existe.