Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1=1

Passo 1

O enunciado pede o limite
lim(x,y)to(0,0) x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1
O conteúdo é limite de função de duas variáveis em forma indeterminada 0/0, e vamos usar racionalização de denominador para resolver.

Passo 2

Observamos que, ao aproximar (x,y) de (0,0), o numerador vai para
x^2+y^2to 0
e o denominador vai para
raiz0+1-1 = 0,
logo temos a forma 0/0.

Passo 3

Para eliminar a indeterminação, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é, por raizx^2+y^2+1+1:
x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1 cdot raizx^2+y^2+1+1raizx^2+y^2+1+1 = (x^2+y^2)l(raizx^2+y^2+1+1r) (raizx^2+y^2+1)^2-1^2
No denominador,
(raizx^2+y^2+1)^2-1^2 = (x^2+y^2+1)-1 = x^2+y^2,
então a expressão simplifica para
raizx^2+y^2+1+1,
sempre que (x,y)neq(0,0).

Passo 4

Agora que
x^2+y^2raizx^2+y^2+1-1 = raizx^2+y^2+1+1,
podemos tomar o limite diretamente:
lim(x,y)to(0,0)l(raizx^2+y^2+1+1r) = raiz0+1+1 = 2

Resposta

2

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