Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
Passo 1
O enunciado pede
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar a mudança de variável
, de modo que quando
tenhamos
.
Passo 2
Definindo
, reescrevemos o numerador e o denominador em função de
:
Logo a expressão original vira
Passo 3
Para investigar o comportamento quando
, note que o numerador tende a
enquanto o denominador tende a
Logo a fração
tem numerador não nulo (tende a
) e denominador tendendo a zero, indicando que o valor absoluto da expressão fica arbitrariamente grande.
Passo 4
Para ver que não há limite finito, examine aproximações unilaterais de
:
- Se
e , então e a expressão tende a . - Se
e , então e a expressão tende a .
Passo 5
Como o comportamento não é o mesmo por todos os caminhos (pode ir a
ou a
), concluímos que não existe limite finito nem mesmo limite infinito único.
Resposta
O limite não existe.