Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe (justifique!):
lim (x, y) (1,1) 3x y-1raizx y-1

Passo 1

O enunciado pede
lim(x,y)to(1,1) tfrac3xy-1raizxy-1
O conteúdo aqui é limite de função de duas variáveis e vamos usar a mudança de variável t=xy, de modo que quando (x,y)to(1,1) tenhamos tto1.

Passo 2

Definindo t=xy, reescrevemos o numerador e o denominador em função de t:
3xy-1 = 3t-1 = 3-tt,
raizxy-1 = raizt-1
Logo a expressão original vira
tfrac3xy-1raizxy-1 = tfrac3-ttraizt-1 = 3-t,t(raizt-1),

Passo 3

Para investigar o comportamento quando tto1, note que o numerador tende a
3-t ;longrightarrow; 3-1 = 2,
enquanto o denominador tende a
t(raizt-1);longrightarrow;1cdot(1-1)=0
Logo a fração
3-t,t(raizt-1),
tem numerador não nulo (tende a 2) e denominador tendendo a zero, indicando que o valor absoluto da expressão fica arbitrariamente grande.

Passo 4

Para ver que não há limite finito, examine aproximações unilaterais de tto1:
  • Se t>1 e tto1^+, então raizt-1>0 e a expressão tende a +infty.
  • Se t<1 e tto1^-, então raizt-1<0 e a expressão tende a -infty.

Passo 5

Como o comportamento não é o mesmo por todos os caminhos (pode ir a +infty ou a -infty), concluímos que não existe limite finito nem mesmo limite infinito único.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados