Resolva as equações separáveis:
y^prime=x y1+x^2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial
y' = x,y1+x^2,
que é uma equação de variáveis separáveis. Para resolver, vamos usar separação de variáveis e depois integrar em ambos os lados.

Passo 2

Separamos y e x dividindo por y e multiplicando por dx:
dyy ;=;x1+x^2,dx

Passo 3

Integrando cada lado:
integral 1y,dy = integral x1+x^2,dx
No lado esquerdo vem
integral 1y,dy = ln|y|,
e no direito note que, pelo u-substituição u=1+x^2, du=2x,dx, temos
integral x1+x^2,dx = 12integral duu = 12lnl(1+x^2r)
Logo
ln|y| = 12lnl(1+x^2r) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Exponentiando ambos os lados para isolar y:
|y| = e^C,(1+x^2)^1/2
Denotando A = pm e^C como constante arbitrária, obtemos a solução geral
y = Araiz1+x^2,
sendo AinR (inclui a solução trivial y=0 quando A=0).

Resposta

y = Araiz1+x^2, AinR

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