Use o critério da série alternada para dizer se a série sumn=1^infty(-1)^n sen(1n) converge.

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada
sumn=1^infty(-1)^n,sen!l(tfrac1nr)
e pede para verificar a convergência usando o critério da série alternada (Leibniz). Para isso precisamos checar duas coisas sobre an = sen!l(tfrac1nr):
  1. limntoinftyan = 0.
  2. A sequência (an) é eventual ou globalmente decrescente.

Passo 2

Mostramos que
limntoinftysen!l(tfrac1nr)=sen(0)=0,
pois tfrac1nto0 e sen é contínua em 0.

Passo 3

Agora, para n>=1, temos tfrac1n+1<tfrac1n e, como sen(x) é crescente em [0,pi/2], resulta
sen!l(tfrac1n+1r)<=sen!l(tfrac1nr),
ou seja, an+1<= an. Logo (an) é decrescente desde o início.

Passo 4

Como (an) é positiva, decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz a série
sumn=1^infty(-1)^nan
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^nsenl(tfrac1nr) converge pelo critério da série alternada (Leibniz).

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