Verifique que a função dada é uma solução do problema de valor inicial (PVI):
y(t)=integral0^t e^2(t-s) s^2 d s
y^prime=2 y+t^2, y(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y(t) = integral0^t e^2(t-s) s^2,ds
e pede para verificar que ela satisfaz o problema de valor inicial
y'=2y+t^2, y(0)=0
O conteúdo envolvido é a regra de Leibniz para derivar integrais com limite superior variável e parâmetro dependente de t.

Passo 2

Verificamos a condição inicial diretamente:
y(0)=integral0^0 e^2(0-s)s^2,ds=0
Logo y(0)=0 coincide com o dado do PVI.

Passo 3

Para computar y'(t), aplicamos a regra de Leibniz:
ddtintegral0^tF(t,s),ds =F(t,t)+integral0^tpartialpartial tF(t,s),ds,
com F(t,s)=e^2(t-s)s^2. Temos
F(t,t)=e^2(t-t)t^2=t^2,
partialpartial tF(t,s) =2e^2(t-s)s^2
Portanto,
y'(t) =t^2+integral0^t2e^2(t-s)s^2,ds =t^2+2integral0^te^2(t-s)s^2,ds

Passo 4

Observando que integral0^te^2(t-s)s^2,ds=y(t), concluímos
y'(t)=t^2+2y(t),
que é exatamente a equação do PVI.

Resposta

A função
y(t)=integral0^te^2(t-s)s^2,ds
satisfaz o problema de valor inicial y'=2y+t^2, y(0)=0.

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