Questão 0.1. Considere T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que T(x, y, z)=(x-2 y, z, x+y) . O escalar 0 é um autovalor de T? Justifique sua resposta!

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear T: \mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definido por
T(x,y,z) = (\,x - 2y,\;z,\;x + y\,)
e pergunta se o escalar 0 é autovalor de T. Para responder, usaremos a definição: 0 é autovalor de T se, e somente se, existe vetor não-nulo v com T(v)=0.

Passo 2

Procuramos (x,y,z)\neq(0,0,0) tal que
T(x,y,z) = (0,0,0),
isto é, o sistema
x - 2y = 0,\quad z = 0,\quad x + y = 0
deve ter solução não-trivial.

Passo 3

Da segunda equação vem z=0. Da terceira obtemos x=-y. Substituindo em x-2y=0
-y - 2y = -3y = 0\implies y=0\implies x=0.
Logo a única solução é (x,y,z)=(0,0,0), ou seja, \ker T=\{0\}. Assim T é injetora (portanto invertível) e 0 não é autovalor.

Resposta

0 não é autovalor de T.

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