Esboçe o maior conjunto no qual a função é contínua
f(x, y)=\sqrt{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o maior conjunto em \mathbb{R}^2 em que a função
f(x,y)=\sqrt{x-y}
é contínua. O conteúdo envolvido é domínio de definição de radicais reais e continuidade de função composta.

Passo 2

Para a raiz quadrada \sqrt{t} ser real, precisamos de
t \ge 0.
Aqui t = x - y, logo o domínio de f é
D = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x - y \ge 0\}.

Passo 3

Defina g(x,y)=x-y. Como (x,y)\mapsto x-y é uma combinação linear de projeções, g é contínua em todo \mathbb{R}^2. Também sabemos que \sqrt{t} é contínua em [0,\infty). Então, f = \sqrt{\;\cdot\;}\circ g é contínua em todo ponto de D, pois em D temos g(x,y)\in[0,\infty).

Resposta

O maior conjunto em que f é contínua é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x - y \ge 0\}.

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