Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite nāo existe.
(a) lim (x, y) (0,0) 4 yraizx^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis na origem: f(x,y)=4yraizx^2+y^2. O conteúdo principal aqui é limite em várias variáveis e uma ideia muito útil para esse tipo de problema é usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos x=rcostheta e y=rsintheta, com r=raizx^2+y^2. Substituindo na expressão, temos:
4yraizx^2+y^2=4(rsintheta)r=4sintheta

Passo 3

Note que o valor da expressão, quando descrito em função de r e theta, não depende de r mas sim de theta. Ou seja, ao nos aproximarmos da origem ( rto0^+), o valor tende a 4sintheta, que varia com o ângulo de aproximação.

Passo 4

Como esse resultado varia conforme theta (por exemplo, para theta=pi/2 4, mas para theta=-pi/2 -4), concluímos que não há um único valor limite.

Passo 5

Portanto, o limite não existe porque depende do caminho de aproximação (ou seja, do ângulo theta).

Resposta

O limite não existe.

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