Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite nāo existe.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de uma função de duas variáveis na origem:
. O conteúdo principal aqui é limite em várias variáveis e uma ideia muito útil para esse tipo de problema é usar coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares fazemos
e
, com
. Substituindo na expressão, temos:
Passo 3
Note que o valor da expressão, quando descrito em função de
e
, não depende de
mas sim de
. Ou seja, ao nos aproximarmos da origem (
), o valor tende a
, que varia com o ângulo de aproximação.
Passo 4
Como esse resultado varia conforme
(por exemplo, para
dá
, mas para
dá
), concluímos que não há um único valor limite.
Passo 5
Portanto, o limite não existe porque depende do caminho de aproximação (ou seja, do ângulo
).
Resposta
O limite não existe.