Encontre a transformada de Laplace das funções.
f(t)=t e^a t sen b t

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t,e^a tsin(b t)
Para resolver, vamos usar duas propriedades: (i) o deslocamento na variável s para fatores e^a t e (ii) a propriedade de diferenciação em s para o fator t.

Passo 2

Primeiro, lembramos a transformada de Laplace de
g(t)=e^a tsin(b t),
que é
G(s)=Lg(t)(s) =integral0^inftye^-s te^a tsin(b t),dt =b(s - a)^2+b^2

Passo 3

Agora usamos a propriedade
Lt,g(t)(s)=-ddsl[G(s)r]
Como
G(s)=b(s - a)^2+b^2,
temos
dGds =bcdotddsl[(s - a)^2+b^2r]^-1 =-bcdot2(s - a)l[(s - a)^2+b^2r]^2
Portanto,
Lt,e^a tsin(b t)(s) =-dGds =2b,(s - a)l[(s - a)^2+b^2r]^2

Resposta

boxedLt,e^a tsin(b t)(s) =2b,(s - a)l[(s - a)^2+b^2r]^2

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