Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) 4-x yx^2+3 y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos ver o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo 4 - x cdot 0x^2 + 3 cdot 0^2 = 4x^2 , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
À medida que se aproxima de 0, também se aproxima de 0, tornando a fração cada vez maior. Portanto, o limite ao longo do eixo é .

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo 4 - 0 cdot y0^2 + 3y^2 = 43y^2 , ou seja, quando . Substituindo na função, temos:
Assim como antes, quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0, fazendo com que a fração cresça sem limite. Então, o limite ao longo do eixo também é .

Passo 4

Para garantir que o limite realmente tende a 4 - x cdot kxx^2 + 3(kx)^2 = 4 - kx^2x^2 + 3k^2x^2 = 4 - kx^2x^2(1 + 3k^2) e não depende do caminho, vamos testar um caminho mais geral, por exemplo, 4x^2(1 + 3k^2) , onde é uma constante.
Substituindo na função:
À medida que se aproxima de 0, o termo no numerador se torna insignificante, então a expressão fica aproximadamente:
Novamente, conforme se aproxima de 0, essa fração tende a , independentemente do valor de .

Resposta

Portanto, independente do caminho que escolhemos para nos aproximar de , a função tende a . Assim, o limite não existe no sentido finito, pois a função cresce sem limite à medida que se aproxima de .

Exercícios relacionados