Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos ver o comportamento da função ao nos aproximarmos do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, tornando a fração
cada vez maior. Portanto, o limite ao longo do eixo
é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite ao longo do eixo
, ou seja, quando
. Substituindo
na função, temos:
Assim como antes, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0, fazendo com que a fração
cresça sem limite. Então, o limite ao longo do eixo
também é
.
Passo 4
Para garantir que o limite realmente tende a
e não depende do caminho, vamos testar um caminho mais geral, por exemplo,
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
À medida que
se aproxima de 0, o termo
no numerador se torna insignificante, então a expressão fica aproximadamente:
Novamente, conforme
se aproxima de 0, essa fração tende a
, independentemente do valor de
.
Resposta
Portanto, independente do caminho que escolhemos para nos aproximar de
, a função
tende a
. Assim, o limite não existe no sentido finito, pois a função cresce sem limite à medida que
se aproxima de
.