Mostre que a função f dada por f(x) = |x| é contínua em R^n. [Sugestão: Considere |x-a|^2 = (x-a) * (x+a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função é contínua em todo o espaço . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade e a sugestão dada sobre a expressão .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se, quando se aproxima de , também se aproxima de . Em termos matemáticos, dizemos que:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Queremos mostrar que:

Passo 4

Para fazer isso, usamos a sugestão do enunciado. Sabemos que:
Essa expressão nos ajuda a lidar com a diferença entre e .

Passo 5

Vamos considerar a diferença . Usando a desigualdade do triângulo, temos:
Isso significa que a diferença entre e é no máximo .

Passo 6

Agora, para a continuidade, queremos que seja menor que qualquer quando , onde depende de . Pelo que vimos:
Portanto, se escolhemos , garantimos que .

Passo 7

Assim, mostramos que para todo , podemos encontrar um tal que se , então . Isso satisfaz a definição de continuidade.

Resposta

Portanto, a função é contínua em .

Exercícios relacionados