Mostre que a função f dada por
é contínua em
. [Sugestão: Considere
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função
é contínua em todo o espaço
. Para isso, vamos usar o conceito de continuidade e a sugestão dada sobre a expressão
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto
se, quando
se aproxima de
,
também se aproxima de
. Em termos matemáticos, dizemos que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Queremos mostrar que:
Passo 4
Para fazer isso, usamos a sugestão do enunciado. Sabemos que:
Essa expressão nos ajuda a lidar com a diferença entre
e
.
Passo 5
Vamos considerar a diferença
. Usando a desigualdade do triângulo, temos:
Isso significa que a diferença entre
e
é no máximo
.
Passo 6
Agora, para a continuidade, queremos que
seja menor que qualquer
quando
, onde
depende de
. Pelo que vimos:
Portanto, se escolhemos
, garantimos que
.
Passo 7
Assim, mostramos que para todo
, podemos encontrar um
tal que se
, então
. Isso satisfaz a definição de continuidade.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em
.