Mostre que a função f dada por 
  é contínua em 
 . [Sugestão: Considere 
 
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função 
  é contínua em todo o espaço 
 . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade e a sugestão dada sobre a expressão 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto 
  se, quando 
  se aproxima de 
 , 
  também se aproxima de 
 . Em termos matemáticos, dizemos que:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função 
 . Queremos mostrar que:
Passo 4
Para fazer isso, usamos a sugestão do enunciado. Sabemos que:
Essa expressão nos ajuda a lidar com a diferença entre 
  e 
 .
Passo 5
Vamos considerar a diferença 
 . Usando a desigualdade do triângulo, temos:
Isso significa que a diferença entre 
  e 
  é no máximo 
 .
Passo 6
Agora, para a continuidade, queremos que 
  seja menor que qualquer 
  quando 
 , onde 
  depende de 
 . Pelo que vimos:
Portanto, se escolhemos 
 , garantimos que 
 .
Passo 7
Assim, mostramos que para todo 
 , podemos encontrar um 
  tal que se 
 , então 
 . Isso satisfaz a definição de continuidade.
Resposta
Portanto, a função 
  é contínua em 
 .